Aiuto su limiti destri e sinistri

[DerivoxTe]

Salve a tutti cercavo chiarimenti su come calcolare i limiti destri e sinistri di una funzione
La prof mi ha spiegato che per farli è necessario strudiare il segno della funzione per determinare il segno del limite
ci sono altri modi per calcolarli se si come e sempre nel possibile con qualche esempio grazie in anticipo

[gugo82]

Posta un esercizio che non sai fare e facci vedere dove ti blocchi.

[DerivoxTe]

ecco qua l'esercizio
$f(x)=lim_(x\to 1^-)(x^2+|x-1|/(x-1))$
ora per
$x<1$
ho che
$f(x)=x^2-1$ e per $x>1$ $f(x)=x^2+1$
il segno di $f(x)=x^2-1$ è positivo per $x<-1 e x>1$ negativo per $-1 metre $f(x)=x^2+1$ è sempre positivo
ora che devo fare???

[linuxloverstaff]

"DerivoxTe":ecco qua l'esercizio
$f(x)=lim_(x\to 1^-)(x^2+|x-1|/(x-1))$
ora per
$x<1$
ho che
$f(x)=x^2-1$ e per $x>1$ $f(x)=x^2+1$
il segno di $f(x)=x^2-1$ è positivo per $x<-1 e x>1$ negativo per $-1 metre $f(x)=x^2+1$ è sempre positivo
ora che devo fare???

Il segno del limite lo hai calcolato...che cosa ti chiede l'esercizio in più?
PS: pare ci sia una discontinuità

[DerivoxTe]

l'esercio vuole il limite della $f(x)=x^2+|x-1|/(x-1)$ per x che tende a 1 da sinistra

[linuxloverstaff]

"DerivoxTe":l'esercio vuole il limite della $f(x)=x^2+|x-1|/(x-1)$ per x che tende a 1 da sinistra

zero

[DerivoxTe]

"Admdebian":[quote="DerivoxTe"]l'esercio vuole il limite della $f(x)=x^2+|x-1|/(x-1)$ per x che tende a 1 da sinistra

zero[/quote]
grz ma io volevo capire come si risolve il limite

[linuxloverstaff]

"DerivoxTe":[quote="Admdebian"][quote="DerivoxTe"]l'esercio vuole il limite della $f(x)=x^2+|x-1|/(x-1)$ per x che tende a 1 da sinistra

zero[/quote]
grz ma io volevo capire come si risolve il limite[/quote]
Scusa, non era mia intenzione non farti capire.

Allora, tu devi pensare di avere una quantità minore di 1.
Al quadrato questa quantità fa più o meno 1 (anche se in realtà il valore si avvicina a zero). Tu al posto di X^2 scrivi 1.

Poi arriviamo al valore assoluto, puoi vederlo così:
|1 - epsilon - 1 | / 1 - 1 - epsilon

Togliendo il valore assoluto ottieni epsilon / - epsilon, che fa -1.

Rimetti dentro e ottieni:

1 -1 = 0.

Se non sei convinto puoi mettere la tua funzione dentro un foglio di calcolo Calc di openoffice.

[gugo82]

Ma lasciamo stare i procedimenti approssimativi ed i fogli di calcolo.
Facciamo le cose per bene, una buona volta.

Innanzitutto la funzione [tex]$f(x)$[/tex] è definita per [tex]$x-1\neq 0$[/tex], ossia per [tex]$x\in \mathbb{R}\setminus \{ 1\}$[/tex]; cercando di sciogliere il valore assoluto si trova:

[tex]$|x-1|=\begin{cases} x-1 &\text{, se $x\geq 1$} \\ 1-x &\text{, se $x\leq 1$}\end{cases}$[/tex],

ergo:

[tex]$f(x)=\begin{cases} x^2+\frac{x-1}{x-1} &\text{, se $x> 1$} \\ x^2+\frac{1-x}{x-1} &\text{, se $x< 1$}\end{cases}$[/tex]
[tex]$=\begin{cases} x^2+1 &\text{, se $x> 1$} \\ x^2-1 &\text{, se $x< 1$}\end{cases}$[/tex]

(N.B.: Il punto [tex]$1$[/tex], che pure si è tenuto in considerazione quando è stato sciolto a parte il valore assoluto, non è considerato tra i valori per cui [tex]$f(x)$[/tex] è definita).

Ora, si vuole calcolare [tex]$\lim_{x\to 1^-} f(x)$[/tex]; dato che la scrittura [tex]$\lim_{x\to 1^-}$[/tex] equivale alla seguente e più esplicita [tex]$\lim_{x\to 1, x<1}$[/tex], si capisce che per calcolare il suddetto limite bisogna usare l'espressione di [tex]$f(x)$[/tex] che è da tenere in conto quando si prendono valori di [tex]$x$[/tex] minori di [tex]$1$[/tex]: in altre parole si ha:

[tex]$\lim_{x\to 1^-} f(x)=\lim_{x\to 1, x<1} f(x)=\lim_{x\to 1} x^2-1 =1-1=0$[/tex];

volendo essere più precisi, si può notare che per [tex]$x<1$[/tex] molto vicini a [tex]$1$[/tex] si ha [tex]$x^2<1$[/tex], ergo [tex]$x^2-1<0$[/tex] e pertanto [tex]$\lim_{x\to 1^-} f(x)=0^-$[/tex].

Analogamente, se vogliamo calcolare [tex]$\lim_{x\to 1^+} f(x)$[/tex], dato che la scrittura [tex]$\lim_{x\to 1^+}$[/tex] equivale a [tex]$\lim_{x\to 1, x>1}$[/tex], abbiamo:

[tex]$\lim_{x\to 1^+} f(x)=\lim_{x\to 1,x>1} f(x)=\lim_{x\to 1} x^2+1=1+1=2$[/tex]

e, a voler essere precisi, [tex]$\lim_{x\to 1^+} f(x)= 2^+$[/tex].

Il grafico che segue dà una conferma ai nostri risultati.
[asvg]xmin=-2;xmax=4;ymin=-1;ymax=5;
axes("","");
stroke="dodgerblue"; plot("x^2-1",-3,1); plot("x^2+1",1,5); dot([1,0]); dot([1,2]);[/asvg]