Aiuto su integrale indefinito forse immediato
Salve,
la prof e Derive dicono che $\int \frac{\sin x+\cos x}{\sin x- \cos x}dx$ è un integrale immediato.
dato che non riesco a trovarlo da nessuna parte (intendo lo svolgimento, il risultato ce l'ho già), qualcuno potrebbe suggerirmi la strada da seguire per trovare la classe di primitive per conto mio ?
la prof e Derive dicono che $\int \frac{\sin x+\cos x}{\sin x- \cos x}dx$ è un integrale immediato.
dato che non riesco a trovarlo da nessuna parte (intendo lo svolgimento, il risultato ce l'ho già), qualcuno potrebbe suggerirmi la strada da seguire per trovare la classe di primitive per conto mio ?
Risposte
Prova a calcolare la derivata del denominatore...
Ho fatto con metodo di sostituzione. Posto, magari qualcun'altro si è posto il problema:
Pongo $t=\sin x-\cos x$, $dt=\sin x+\cos x\ dx\ \Leftrightarrow dx=\frac{dt}{\sin x+\cos x\}$
allora $\int frac{\sin x +\cos x}{\sin x-\cos x}dx=\int \frac{\sin x+\cos x}{t} \frac{dt}{\sin x+\cos x\}=\int \frac{1}{t}dt=\ln |t| + c=\ln |\sin x-\cos x|+c$
che, tra parentesi, era il risultato che mi aspettavo.
Grazie, comunque.
Pongo $t=\sin x-\cos x$, $dt=\sin x+\cos x\ dx\ \Leftrightarrow dx=\frac{dt}{\sin x+\cos x\}$
allora $\int frac{\sin x +\cos x}{\sin x-\cos x}dx=\int \frac{\sin x+\cos x}{t} \frac{dt}{\sin x+\cos x\}=\int \frac{1}{t}dt=\ln |t| + c=\ln |\sin x-\cos x|+c$
che, tra parentesi, era il risultato che mi aspettavo.
Grazie, comunque.
Va bene pure così, altrimenti bastava notare che l'integrale è del tipo [tex]$\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx$[/tex], che è immediato.
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