Aiuto su integrale improprio
salve a tutti ho riscontrato oggi un problema sul seguente integrale:
$ int_(0)^(pi/2) (x^a)/(sqrt(senx*cosx)) dx $
per x->0 facciamo la stima asintotica $ senx~ x $, il coseno per x->0 fa 1 e ci ricongiungiamo alla forma $ 1/x^(1/2-a) $; quindi converge per $ a> -1/2 $
Ora il dubbio è riguardo a $ x->pi/2 $, a me risulta non convergente per qualsiasi a (e quindi tutto l'integrale dovrebbe non essere convergente) ma utilizzando programmi di calcolo online e stando alla soluzione del libro l'integrale iniziale è convergente per $ a> -1/2 $.
dove sbaglio? ho provato a risolvere il limite per $ x->pi/2 $ con varie sostituzioni e formule di prostaferesi, ma il risultato è sempre lo stesso: l'integrale non mi converge per l'estremo $ pi/2 $.
Grazie in anticipo.
$ int_(0)^(pi/2) (x^a)/(sqrt(senx*cosx)) dx $
per x->0 facciamo la stima asintotica $ senx~ x $, il coseno per x->0 fa 1 e ci ricongiungiamo alla forma $ 1/x^(1/2-a) $; quindi converge per $ a> -1/2 $
Ora il dubbio è riguardo a $ x->pi/2 $, a me risulta non convergente per qualsiasi a (e quindi tutto l'integrale dovrebbe non essere convergente) ma utilizzando programmi di calcolo online e stando alla soluzione del libro l'integrale iniziale è convergente per $ a> -1/2 $.
dove sbaglio? ho provato a risolvere il limite per $ x->pi/2 $ con varie sostituzioni e formule di prostaferesi, ma il risultato è sempre lo stesso: l'integrale non mi converge per l'estremo $ pi/2 $.
Grazie in anticipo.
Risposte
"argo93":
Ora il dubbio è riguardo a $ x->pi/2 $, a me risulta non convergente per qualsiasi a (e quindi tutto l'integrale dovrebbe non essere convergente) ma utilizzando programmi di calcolo online e stando alla soluzione del libro l'integrale iniziale è convergente per $ a> -1/2 $.
dove sbaglio? ho provato a risolvere il limite per $ x->pi/2 $ con varie sostituzioni e formule di prostaferesi, ma il risultato è sempre lo stesso: l'integrale non mi converge per l'estremo $ pi/2 $.
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{\pi }{2}}^ - }} \frac{{{x^a}}}{{\sqrt {\sin \left( x \right)\cos \left( x \right)} }} \sim \frac{{{x^a}}}{{\sqrt {\cos \left( x \right)} }} = \frac{{{x^a}}}{{\sqrt {\frac{\pi }{2} - x + o\left( {x - \frac{\pi }{2}} \right)} }} = \frac{c}{{{0^ + }{\text{ di ordine }}\frac{1}{2}}}\]
cioè il limite tende a $+oo$ con un ordine inferiore a 1 per qualunque $a in RR$ e quindi è ivi convergente. Di conseguenza l'integrale converge solo per $a> -1/2$.
grazie della risposta ma ho qualche dubbio sulla tua spiegazione: come fai a stabilire quell'asintoticità fra $ (x^a)/(sqrt(sen(x)*cos(x))) $ e $ (x^a)/(sqrt(cos(x))) $ utilizzi un cambio di variabile prima?
Poi nel passaggio dopo usi taylor per $ x=pi/2 $ ?
E infine dato che il limite tende a infinito non dovrebbe essere divergente?
Grazie ancora della risposta.
Poi nel passaggio dopo usi taylor per $ x=pi/2 $ ?
E infine dato che il limite tende a infinito non dovrebbe essere divergente?
Grazie ancora della risposta.
"argo93":
come fai a stabilire quell'asintoticità fra $ (x^a)/(sqrt(sen(x)*cos(x))) $ e $ (x^a)/(sqrt(cos(x))) $ utilizzi un cambio di variabile prima?
No, semplicemente per $x -> pi/2$ il seno tende a 1.
"argo93":
Poi nel passaggio dopo usi taylor per $ x=pi/2 $ ?
Certamente.
"argo93":
E infine dato che il limite tende a infinito non dovrebbe essere divergente?
No, una volta verificato che l'integranda mantiene segno costante puoi applicare il criterio dell'ordine.
grazie mille ancora per la pazienza =)
Di nulla 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo