Aiuto su integrale e studio del segno di una funzione
Ciao ragazzi, mi sto esercitando sugli esercizi d'esame che propone la mia professoressa di Analisi, grosso modo me la cavo ma mi servirebbe un vostro aiutino per pulire degli errori.
Primo esercizio: studio dell'integrale $int_(0)^(pi/2)sin(x)cos(x)e^(-sin x)$
Ho impostato l'integrale per sostituzione, ponendo $t=sin(x)$ e ottenendo quindi il nuovo integrale $int_(0)^(1)te^-tdt$.
Fin qui tutto bene, questo punto procedo per parti, ma nell'esercizio svolto che ho non tornano i segni. Io farei $[te^-t]_(0)^(1) - int_(0)^(1)e^-tdt$, ottenendo dopo alcuni passaggi il risultato $0$, ma la prof. dice di fare: $-[te^-t]_(0)^(1) + int_(0)^(1)e^-tdt$, ottenendo come risultato $1-2e^-1$. Mi spiegate come mai i segni sono invertiti?? Dove sbaglio??
Inoltre, un'altro esercizio riguarda lo studio della seguente funzione: $f(x)=x/sqrt(x-1)$.
Ho studiato il segno ponendo $f(x)=x/sqrt(x-1)>0$, risolvo la disequazione fratta: al denominatore viene x>0, al denominatore $x>1$ perchè elevo al quadrato sia a destra che a sinistra del $>$, quindi il segno della funzione è positivo con $x<0$ e $x>1$. Secondo l'esercizio svolto della prof invece no, dice che la funzione è sempre positiva. Perchè?!
Grazie mille! Tra una settimana spero che smetterò di assillarvi di domande, l'esame si avvicina!!
Primo esercizio: studio dell'integrale $int_(0)^(pi/2)sin(x)cos(x)e^(-sin x)$
Ho impostato l'integrale per sostituzione, ponendo $t=sin(x)$ e ottenendo quindi il nuovo integrale $int_(0)^(1)te^-tdt$.
Fin qui tutto bene, questo punto procedo per parti, ma nell'esercizio svolto che ho non tornano i segni. Io farei $[te^-t]_(0)^(1) - int_(0)^(1)e^-tdt$, ottenendo dopo alcuni passaggi il risultato $0$, ma la prof. dice di fare: $-[te^-t]_(0)^(1) + int_(0)^(1)e^-tdt$, ottenendo come risultato $1-2e^-1$. Mi spiegate come mai i segni sono invertiti?? Dove sbaglio??
Inoltre, un'altro esercizio riguarda lo studio della seguente funzione: $f(x)=x/sqrt(x-1)$.
Ho studiato il segno ponendo $f(x)=x/sqrt(x-1)>0$, risolvo la disequazione fratta: al denominatore viene x>0, al denominatore $x>1$ perchè elevo al quadrato sia a destra che a sinistra del $>$, quindi il segno della funzione è positivo con $x<0$ e $x>1$. Secondo l'esercizio svolto della prof invece no, dice che la funzione è sempre positiva. Perchè?!
Grazie mille! Tra una settimana spero che smetterò di assillarvi di domande, l'esame si avvicina!!
Risposte
ciao,
1)
controlla l'integrazione per parti... ricordando che la derivata di $e^(-t)$ è $-e^{-t}$.
2)
Innanzitutto dovresti accorgerti che aver ottenuto $x<0$ non è un risultato accettabile perché viola le condizioni di esistenza del radicando ($x>1$).
In ogni caso, il risultato di $f(x)>0$ vale per ogni $x\inR:x>1$.
1)
controlla l'integrazione per parti... ricordando che la derivata di $e^(-t)$ è $-e^{-t}$.
2)
Innanzitutto dovresti accorgerti che aver ottenuto $x<0$ non è un risultato accettabile perché viola le condizioni di esistenza del radicando ($x>1$).
In ogni caso, il risultato di $f(x)>0$ vale per ogni $x\inR:x>1$.
Hai applicato in modo distratto il teorema di integrazione per parti:
$$
\int f'g=fg-\int fg'
$$
se hai scelto che $g=t$ e che $f'=e^{-t}$ allora avrai che $f=-e^{-t}$ mentre $g'=1$ da questo fatto tornano i segni corretti.
Per il secondo punto invece ci sono diversi errori di concetto sulle disequazioni...
Prima di tutto dovresti ripassare su un libro del liceo lo studio delle disequazioni irrazionali
Questo è un abominio per diverse ragioni, prima di tutto hai mai visto una radice quadrata negativa??
infatti la radice quadrata di un qualunque numero è sempre positiva ad eccezione della radice di 0 che per l'appunto vale 0.
Per questo fatto dovresti scordarti lo studio del denominatore, essendo questo sempre positivo non influirà sul segno della funzione.
Altro orrore di concetto : il dominio lo lasciamo a casa?! prima di studiare il segno devi SEMPRE studiare il dominio della funzione anche se l'esercizio non lo richiede espressamente, infatti hai un funzione che è sia fratta che irrazionale; questo implica che il denominatore non può essere nullo e che l'argomento della radice non può essere negativo, questo perché non ha matematicamente senso dividere per 0 e non esiste un numero reale che sia risultato della radice quadrata di un numero negativo.
Questi due dati di fatto impongono che $x-1>0$ cioè che $x>1$ quindi la funzione è definita solo nell'insieme aperto $(1,+\infty)$ all'interno di tale insieme il numeratore della funzione è positivo, che diviso per un denominatore sempre positivo ti da una funzione positiva su tutto il suo dominio.
$$
\int f'g=fg-\int fg'
$$
se hai scelto che $g=t$ e che $f'=e^{-t}$ allora avrai che $f=-e^{-t}$ mentre $g'=1$ da questo fatto tornano i segni corretti.
Per il secondo punto invece ci sono diversi errori di concetto sulle disequazioni...
Prima di tutto dovresti ripassare su un libro del liceo lo studio delle disequazioni irrazionali
"Francesca.S":
al denominatore viene x>0, al denominatore $x>1$ perchè elevo al quadrato sia a destra che a sinistra del $>$, quindi il segno della funzione è positivo con $x<0$ e $x>1$.
Questo è un abominio per diverse ragioni, prima di tutto hai mai visto una radice quadrata negativa??
infatti la radice quadrata di un qualunque numero è sempre positiva ad eccezione della radice di 0 che per l'appunto vale 0.
Per questo fatto dovresti scordarti lo studio del denominatore, essendo questo sempre positivo non influirà sul segno della funzione.
Altro orrore di concetto : il dominio lo lasciamo a casa?! prima di studiare il segno devi SEMPRE studiare il dominio della funzione anche se l'esercizio non lo richiede espressamente, infatti hai un funzione che è sia fratta che irrazionale; questo implica che il denominatore non può essere nullo e che l'argomento della radice non può essere negativo, questo perché non ha matematicamente senso dividere per 0 e non esiste un numero reale che sia risultato della radice quadrata di un numero negativo.
Questi due dati di fatto impongono che $x-1>0$ cioè che $x>1$ quindi la funzione è definita solo nell'insieme aperto $(1,+\infty)$ all'interno di tale insieme il numeratore della funzione è positivo, che diviso per un denominatore sempre positivo ti da una funzione positiva su tutto il suo dominio.
Ciao ragazzi, grazie mille delle risposte!
Per quanto riguarda l'integrale, l'errore era "scemo", nel senso che avevo considerato la derivata di $e^-t$ uguale a $e^-t$, come la derivata fondamentale di $e^x$... ora capito
Per la funzione invece, verissimo, ho fatto orrori uno dietro l'altro!!!
l'errore originario è... nel dominio, che avevo studiato precedentemente al segno, mi ero scordata la condizione di esistenza della radice! Da lì, ho sballato tutto...
Va beh, tutto serve per fare esperienza e l'importante è capire gli errori
Grazie infinite!!!
Per quanto riguarda l'integrale, l'errore era "scemo", nel senso che avevo considerato la derivata di $e^-t$ uguale a $e^-t$, come la derivata fondamentale di $e^x$... ora capito
Per la funzione invece, verissimo, ho fatto orrori uno dietro l'altro!!!
l'errore originario è... nel dominio, che avevo studiato precedentemente al segno, mi ero scordata la condizione di esistenza della radice! Da lì, ho sballato tutto... Va beh, tutto serve per fare esperienza e l'importante è capire gli errori
Grazie infinite!!!
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