AIUTO SU INTEGRALE DOPPIO

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25 set 2006, 15:53

AIUTATEMI VI PREGO...HO L'ESAME TRA POCHI GIORNI E MENTRE FACEVO GLI ESERCIZI MI SONO TROVATO IN DIFFICOLTà

COME SI RIDSOLVONO QUESTI 2 INTEGRALI DOPPI?
[size=150]
∫∫cosx cosy dx dy[/size]

con intervalli 0

∫∫x(1+y^2)dx dy

con intervalli 0

GRAZIE IN ANTICIPO

Risposte

_nicola de rosa

25 set 2006, 14:06

"angeloweb":
AIUTATEMI VI PREGO...HO L'ESAME TRA POCHI GIORNI E MENTRE FACEVO GLI ESERCIZI MI SONO TROVATO IN DIFFICOLTà

COME SI RIDSOLVONO QUESTI 2 INTEGRALI DOPPI?
[size=150]
∫∫cosx cosy dx dy[/size]

con intervalli 0

∫∫x(1+y^2)dx dy

con intervalli 0

GRAZIE IN ANTICIPO

1)$int_{0}^{1}cos(pix)dxint_{1-x}^{1-x/2}cos(piy)dy=int_{0}^{1}cos(pix)*1/pi(sen(piy))_(1-x)^{1-x/2}dx$=
$1/piint_{0}^{1}cos(pix)*[sen(pi-(pix)/2)-sen(pi-pix)]dx=1/piint_{0}^{1}cos(pix)*(sen((pix)/2)-sen(pix))dx$=
$1/piint_{0}^{1}(-1/2*sen(2pix)+cos(pix)sen((pix)/2))dx=1/piint_{0}^{1}(-1/2*sen(2pix)+1/2*(sen((3pix)/2)-sen((pix)/2)))dx$=
$1/(pi)[1/(4pi)cos(pix)-1/(3pi)cos((3pix)/2)+(1/pi)cos(2pix)]_{0}^{1}=1/(12pi^2)[3cos(pix)-4cos((3pix)/2)+12cos(2pix)]_{0}^{1}$=
$-2/(3pi^2)$ dove abbiamo sfruttato la formula di Werner per cui
$cos(pix)sen(pix/2)=1/2*[sen(pix+pix/2)+sen(pix/2-pix)]=1/2*[sen(3pix/2)-sen(pix/2)]$
2)
$int_{0}^{1}xdx*int_{0}^{(1-x)/(1+x)}(1+y^2)dy=int_{0}^{1}x*[y+y^3/3]_{0}^{(1-x)/(1+x)}$=
$int_{0}^{1}x((1-x)/(1+x)+1/3*((1-x)/(1+x))^3)dx=int_{0}^{1}x((1-x)/(1+x))*[4(x^2+x+1)]/(3(1+x)^2)dx$
=$int_{0}^{1}(4x(1-x^3))/(3(1+x)^3)dx=-4/3*int_{0}^{1}((x-3)+2/(1+x)^3-5/(1+x)^2+6/(1+x))dx$=
$-4/3[1/2*(x-3)^2-1/(1+x)^2+5/(1+x)+6ln|1+x|]_{0}^{1}$=$-4/3[2-1/4+5/2+6ln2-9/2+1-5]=-4/3[-17/4+6ln2]=17/3-8ln2$