Aiuto su integrale

[maion1]

Ciao, ho provato tutte le sostituzioni possibili ma non capisco come svolgere

$\int x^2/(-x^2+4)^(1/2)$

Mi darese una mano?

[pilloeffe]

Ciao maion,

Ti propongo una soluzione alternativa a quella che ti ha già correttamente proposto TeM.
Con una integrazione per parti si ha:

$\int \sqrt{a^2 - x^2} dx = x \sqrt{a^2 - x^2} + \int \frac{x^2}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx $

L'integrale proposto è l'ultimo sulla destra nel caso $a = 2 $.
Dato che si può dimostrare che $ \int \sqrt{a^2 - x^2} dx = x/2 \sqrt{a^2 - x^2} + a^2/2 arctan(\frac{x}{\sqrt{a^2 - x^2}}) + c $, si ha:

$ \int \frac{x^2}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx = a^2/2 arctan(\frac{x}{\sqrt{a^2 - x^2}}) - x/2 \sqrt{a^2 - x^2} + c $

Nel caso particolare $a = 2 $ si ha:

$ \int \frac{x^2}{\sqrt{4 - x^2}} dx = 2 arctan(\frac{x}{\sqrt{4 - x^2}}) - x/2 \sqrt{4 - x^2} + c $

[anto_zoolander]

@TeM
Il famoso integrale in \( \mathrm{d(cavallo)} \)

[pilloeffe]

[ot]

"anto_zoolander":@TeM
Il famoso integrale in $\text{d(cavallo)} $

Forse l'ha scritto in omaggio a Fioravante Patrone... [/ot]