Aiuto su due successioni
Salve. Mi servirebbe una mano a calcolare questo limite: lim_(x ->+ oo ) nln (n/(n+1)) e cosa sapete dirmi di questa successione arctan (n^2/(n+2)) ? Di quest'ultima mi servirebbe sapere l'estremo inferiore e superiore, massimo e minimo e il suo limite per n che tende a infinito ma mi interessa sopratutto il ragionamento visto che con le arcotangenti ho sempre avuto qualche difficoltà
Risposte
In merito non so aiutarti , posso "aiutarti" a scrivere tramite formule :
1) calcolare questo limite $lim_(x ->+ oo ) nln (n/(n+1))$
2)di questa successione $arctan (n^2/(n+2))$
della (2)mi servirebbe sapere l'estremo inferiore e superiore, massimo e minimo e il suo limite per $n$ che tende ad infinito , mi interessa sopratutto il ragionamento visto che con le arcotangenti ho sempre avuto qualche difficoltà .
p.s. : in bocca al lupo ...
1) calcolare questo limite $lim_(x ->+ oo ) nln (n/(n+1))$
2)di questa successione $arctan (n^2/(n+2))$
della (2)mi servirebbe sapere l'estremo inferiore e superiore, massimo e minimo e il suo limite per $n$ che tende ad infinito , mi interessa sopratutto il ragionamento visto che con le arcotangenti ho sempre avuto qualche difficoltà .
p.s. : in bocca al lupo ...
@ wylde67: Idee tue?
Si tratta di esercizi abbastanza standard, quindi attendiamo un tuo tentativo.
Si tratta di esercizi abbastanza standard, quindi attendiamo un tuo tentativo.
"gugo82":
@ wylde67: Idee tue?
Si tratta di esercizi abbastanza standard, quindi attendiamo un tuo tentativo.
La prima successione ho provato a scomporla piu volte con le proprietà dei logaritmi ma mi ritrovo a un vicolo cieco. Mentre per la seconda successione io credo che la successione sia crescente e che il limite sia $ pi /2 $ però non capisco se sto parlando in generale o in un intervallo di monotonia
Vediamo un po' di sbloccarti...
Per la (1): se scrivi \( \frac{n}{n+1} \) come \( 1-\frac{1}{n+1} \) non ti viene in mente nessun limite notevole da poter utilizzare?
Per la (2): cosa ci dici circa la monotonìa della successione \( x_n := \frac{n^2}{n+1} \)? E di conseguenza, cosa deduci in merito alla successione \( \arctan(x_n) \)?
Per la (1): se scrivi \( \frac{n}{n+1} \) come \( 1-\frac{1}{n+1} \) non ti viene in mente nessun limite notevole da poter utilizzare?
Per la (2): cosa ci dici circa la monotonìa della successione \( x_n := \frac{n^2}{n+1} \)? E di conseguenza, cosa deduci in merito alla successione \( \arctan(x_n) \)?
"s.stuv":
Vediamo un po' di sbloccarti...
Per la (1): se scrivi \( \frac{n}{n+1} \) come \( 1-\frac{1}{n+1} \) n mente nessn limite notevole da poter utilizzare
Per la (2): cosa ci dici circa la monotonìa della successione \( x_n := \frac{n^2}{n+1} \) E di conseguenza, cosa deduci in merito alla successione \( \arctan(x_n) \)?
Ok con la prima successione mi hai sbloccato e sono riuscito a calcolare il limite. Per quanto riguarda la seconda, la successione n^2/n+1 è strettamente crescente e quindi essendo anche l'arcotangente una successione crescente nell'intervallo tra - $ pi /2 $ e $ pi /2 $ anche la successione $ arctan (n^2/(n+1)) $ è crescente
Ok. Quindi, quanto vale il limite? Cosa dici circa l'estremo superiore? Quanto vale il minimo?
"s.stuv":
Ok. Quindi, quanto vale il limite? Cosa dici circa l'estremo superiore? Quanto vale il minimo?
Direi che il massimo e il minimo non ci sono e che il limite per n che tende a più infinito è $ pi /2 $ che è anche l'estremo superiore mentre l'estremo inferiore è $ -pi /2 $ . È giusto ?
Il discorso relativo ad estremo superiore/limite è corretto. Ma attenzione all'estremo inferiore... come può valere \( - \frac{\pi}{2} \) se la successione è a termini positivi? Per una successione monotòna strettamente crescente il minimo è assunto in corrispondenza del...
"s.stuv":
Il discorso relativo ad estremo superiore/limite è corretto. Ma attenzione all'estremo inferiore... come può valere \( - \frac{\pi}{2} \) se la successione è a termini positivi? Per una successione monotòna strettamente crescente il minimo è assunto in corrispondenza del...
Ah oddio si è vero.. l'estremo inferiore e minimo (se 0 non fa parte di N) è $ arctan(1/2) $ ?
Precisamente. Attenzione che la successione originale che ci avevi indicato era \( x_n := \arctan \bigg ( \frac{n^2}{n+2} \bigg ) \), nel qual caso ovviamente il minimo è \( \arctan \bigg ( \frac{1}{3} \bigg ) \) se canonicamente prendi \( 1 \) come primo naturale.
"s.stuv":
Precisamente. Attenzione che la successione originale che ci avevi indicato era \( x_n := \arctan \bigg ( \frac{n^2}{n+2} \bigg ) \), nel qual caso ovviamente il minimo è \( \arctan \bigg ( \frac{1}{3} \bigg ) \) se canonicamente prendi \( 1 \) come primo naturale.
Ah si è vero poi ho sbagliato a riscriverla, comunque grazie mille!
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