Aiuto su convergenza di una serie e su es. esistenza zeri

[Andrew Ryan]

Ho fatto l'esame di analisi riuscendo a passarlo,ringrazio chi mi ha aiutato su questo forum,però ci sono stati due esercizi che non sono riusciuto a fare,qualcuno può dirmi come andavano fatti?

(1) Sia $ g(x) = 2x^3 - 9x^2 -24x +1 $. Si determini un intervallo di ampiezza $ 1/4 $ in cui cade
una soluzione positiva dell'equazione g(x) = 0. Si dica quante soluzioni ha l'equazione g(x) = 0 in tutto R.

(2) Dire se la serie converge o diverge,se converge calcolarne la somma:
$ sum_(n = 0)^(infty) (5^n + 3^n)/6^n $

Per quanto riguarda l'es 1 ho provato a sostituire qualche valore a X sperando nella soluzione però dopo mi sono accorto che è richiesto soltando un intervallo e non una delle soluzioni,che comunque non so trovare visto che durante il corso non abbiamo mai trovato le soluzioni di un equazione di terzo grado (non c'è proprio nel programma)

Nell'es 2 ho provato invece a fare il limite del termine generale però mi esce sempre la forma indeterminata $ infty/infty $ e anche applicando de l'Hopital il risultato è sempre lo stesso

EDIT:

Dopo i vostri consigli ho provato a continuare entrambi gli esercizi da solo,per quanto riguarda il primo,va bene l'intervallo $[0,1/4]$ come intervallo di ampiezza $1/4$ in cui cade una soluzione positiva dell'equazione g(x)=0 ? Inoltre,come faccio a dire quante soluzioni ha l'equazione g(x) = 0 in tutto R?

Per quanto riguarda la serie,applicando il criterio del rapporto mi sono bloccato così:
$ lim_(n -> infty)(5^(n+1)+3^(n+1))/6^(n+1) * 6^n/(5^n + 3^n) = lim_(n -> infty)(5^(n+1)+3^(n+1))/(6(5^n + 3^n)) $

[_prime_number]

1) $g'(x)=6x^2 -18x-24=6(x^2-3x-4)=6(x+1)(x-4)$ dunque la derivata è negativa solo nell'intervallo $-10, g(4)<0$ e la funzione è continua, dunque per Bolzano c'è uno zero in questo intervallo.
2) criterio del rapporto.

Paola

[Andrew Ryan]

"prime_number":1) $g'(x)=6x^2 -18x-24=6(x^2-3x-4)=6(x+1)(x-4)$ dunque la derivata è negativa solo nell'intervallo $-10, g(4)<0$ e la funzione è continua, dunque per Bolzano c'è uno zero in questo intervallo.
2) criterio del rapporto.

Paola

ti ringrazio,al secondo esercizio mi sono accorto di una svista bella grossa

[Seneca1]

Potresti modificare il titolo scegliendone uno che indichi con più attenzione l'argomento trattato? Grazie.

[Andrew Ryan]

"Seneca":Potresti modificare il titolo scegliendone uno che indichi con più attenzione l'argomento trattato? Grazie.

fatto

[Andrew Ryan]

Ho provato a continuare entrambi gli esercizi da solo,per quanto riguarda il primo,va bene l'intervallo $[0,1/4]$ come intervallo di ampiezza $1/4$ in cui cade una soluzione positiva dell'equazione g(x)=0 ? Inoltre,come faccio a dire quante soluzioni ha l'equazione g(x) = 0 in tutto R?

Per quanto riguarda la serie,applicando il criterio del rapporto mi sono bloccato così:
$ lim_(n -> infty)(5^(n+1)+3^(n+1))/6^(n+1) * 6^n/(5^n + 3^n) = lim_(n -> infty)(5^(n+1)+3^(n+1))/(6(5^n + 3^n)) $

[Andrew Ryan]

nessuno sa aiutarmi?

[gio73]

Ciao andrew: sono vietati gli up prima che siano trascorse 24h. Fai più attenzione in futuro.

[Andrew Ryan]

UP

[gugo82]

Beh, basta notare che:
\[
\frac{5^{n+1} + 3^{n+1}}{5^n +3^n} = 5\ \frac{1+(\frac{3}{5})^{n+1}}{1+(\frac{3}{5})^n}\ldots
\]

[Andrew Ryan]

"gugo82":Beh, basta notare che:
\[
\frac{5^{n+1} + 3^{n+1}}{5^n +3^n} = 5\ \frac{1+(\frac{3}{5})^{n+1}}{1+(\frac{3}{5})^n}\ldots
\]

ovvero? facendo il limite esce comunque una forma indeterminata $ infty/infty $

e inoltre non ho capito come hai semplificato gli esponenti del 5

[ludwigZero]

"Andrew Ryan":[quote="gugo82"]Beh, basta notare che:
\[
\frac{5^{n+1} + 3^{n+1}}{5^n +3^n} = 5\ \frac{1+(\frac{3}{5})^{n+1}}{1+(\frac{3}{5})^n}\ldots
\]

ovvero? facendo il limite esce comunque una forma indeterminata $ infty/infty $

e inoltre non ho capito come hai semplificato gli esponenti del 5[/quote]

la semplificazione del 5 è banale, credo sia più importante notare che si tratti li in mezzo di una serie geometrica con ragione minore di $1$

[gugo82]

Forma indeterminata???

Ma hai guardato bene?