Aiuto su calcolo lunghezza curva...
Ciao a tutti ragazzi,mi chiamo Alessio e mi sono appena iscritto.Ho un problema con il calcolo della lunghezza di una curva,i miei dati sono questi:
Equazione: y=x^2
Intervallo compreso tra i punti di ascissa x=2 e x=4
Sapreste aiutarmi a risolverlo?Io ho calcolato la derivata della funzione,per poi usare la formula per il calcolo della lunghezza della curva,ma mi esce un integrale di una radice....
Spero in un vostro aiuto,grazie a tutti.
Equazione: y=x^2
Intervallo compreso tra i punti di ascissa x=2 e x=4
Sapreste aiutarmi a risolverlo?Io ho calcolato la derivata della funzione,per poi usare la formula per il calcolo della lunghezza della curva,ma mi esce un integrale di una radice....
Spero in un vostro aiuto,grazie a tutti.
Risposte
Benvenuto sul forum.
Applicando la nota formula $L_(a-b)=int_a^b sqrt(1+y'^2) dx$ ottieni in questo caso: $int_2^4 sqrt(1+4x^2) dx$.
Ora, questo integrale mi da l'idea di essere rognoso da svolgere, probabilmente si fa per sostituzione, magari con una funzione iperbolica... però non ho provato.
Applicando la nota formula $L_(a-b)=int_a^b sqrt(1+y'^2) dx$ ottieni in questo caso: $int_2^4 sqrt(1+4x^2) dx$.
Ora, questo integrale mi da l'idea di essere rognoso da svolgere, probabilmente si fa per sostituzione, magari con una funzione iperbolica... però non ho provato.
Puoi parametrizzare la curva come $gamma:[2,4] to bbbR^2;gamma(t)=(t,t^2)$ per la sua lunghezza è data da
$int_2 ^4 ||gamma'(t)|| dt=int_2 ^4 sqrt(1+4t^2) dt$
ti risulta?
Questo dovresti riuscire a risolverlo con una sostituzione con una funzione iperbolica
$int_2 ^4 ||gamma'(t)|| dt=int_2 ^4 sqrt(1+4t^2) dt$
ti risulta?
Questo dovresti riuscire a risolverlo con una sostituzione con una funzione iperbolica
in effetti ponendo $x=sinht/2$ dovresti ridurre il calcolo al determinare la primitiva: $int (cosht)^2 dt$ che è facile ricordando la definizione di $cosht$ in termini di esponenziali.
grazie ragazzi,anche io ero arrivato all'integrale,ma non riuscivo a risolvere la radice di 1+4x^2...adesso provo come ha suggerito Covenant...spero di farcela 
Grazie a tutti
Grazie a tutti
ragazzi non ce l'ho fatta...
Ho provato a farne ancora (sempre sul calcolo della lunghezza della curva) ma mi esce sempre l'integrale di una radice...
Di solito come si risolvono queste?
Ad esempio su un'altra ho 1+9/4x tutto sotto radice,e devo calcolare l'integrale...non so proprio come fare....
Ho provato a farne ancora (sempre sul calcolo della lunghezza della curva) ma mi esce sempre l'integrale di una radice...
Di solito come si risolvono queste?
Ad esempio su un'altra ho 1+9/4x tutto sotto radice,e devo calcolare l'integrale...non so proprio come fare....
"renga91":
ragazzi non ce l'ho fatta...
Ho provato a farne ancora (sempre sul calcolo della lunghezza della curva) ma mi esce sempre l'integrale di una radice...
Di solito come si risolvono queste?
Ad esempio su un'altra ho 1+9/4x tutto sotto radice,e devo calcolare l'integrale...non so proprio come fare....
intendi questo? $int_a^b sqrt(1+9/4x) \ dx$. Se è così è immediato. E' del tipo $int_a^b y'*y^n dx$
si si è proprio quello...ma come si risolve?Non capisco come me l'hai mostrato... 
puoi scriverlo come $4/9int 9/4sqrt(1+9/4x) \ dx$. Ora è proprio immediato. Se chiami $y=1+9/4x$ allora $y'=9/4$ e quindi quell'integrale è proprio del tipo: $int y'*y^n \ dx$ dove in questo caso è $n=1/2$. A questo punto se hai studiato gli integrali dovresti sapere che $int y'*y^n \ dx = y^(n+1)/(n+1)$.
Ti ringrazio adesso mi è molto più chiaro.Quindi c'è solo questo modo per risolverlo?O comunque è il più semplice giusto?
Perchè gli integrali (sono in 5° in un tecnico..)abbiamo da poco iniziato a trattarli e non ho visto esempi come questo,anche se come me l'hai spiegato l'ho capito.Domani sarò interrogato sull'es con cui ho aperto la discussione,spero che a questo punto mi dia una mano anche il prof
Perchè gli integrali (sono in 5° in un tecnico..)abbiamo da poco iniziato a trattarli e non ho visto esempi come questo,anche se come me l'hai spiegato l'ho capito.Domani sarò interrogato sull'es con cui ho aperto la discussione,spero che a questo punto mi dia una mano anche il prof
puoi farlo anche per sostituzione, è la stessa cosa. Poni $t=1+9/4x$ e poi è facile. Ammesso però che ti abbiano già insegnato come fare i cambi di variabile.
il metodo di sostituzione l'ho fatto,però non so cosa intendi per cambio di variabile 
"renga91":
il metodo di sostituzione l'ho fatto,però non so cosa intendi per cambio di variabile
$t=1+9/4x$ è un cambio di variabile. Come sai devi ricavarti il $dx$ in funzione del $dt$ e cambiare gli estremi di integrazione. Se avete fatto questo procedimento allora puoi farlo così 'integrale. Stessa cosa per il primo integrale che avevi postato che richiede tuttavia qualche passaggio in più.
si il discorso dx e dt l'ho fatto,però mi trovo in difficoltà a risolvere questo integrale...come mi calcolo il differenziale poi?
$t=1+9/4x => x=4/9t-4/9$ da cui differenziando ambo i membri: $dx = 4/9 dt$. Quindi sostituisci: $int sqrt(1+9/4x) \ dx = int 4/9sqrtt \ dt = 4/9 int sqrtt \ dt$. L'ultimo lo DEVI saper fare 
.
.
Grazie mille l'ultimo come hai pronosticato lo so fare 
In che senso dicevi che nel primo integrale che ho postato è un po' più lungo?
Domani sono interrogato su quello
l'ultimo come hai pronosticato lo so fare In che senso dicevi che nel primo integrale che ho postato è un po' più lungo?
Domani sono interrogato su quello
$int sqrt (1+4x^2) dx$ poni $x=sinht/2 => dx=cosht/2dt$ e sostituisci: $int sqrt (1+4x^2) dx = 1/2int sqrt(1+sinh^2t)*cosht \ dt$, ora devi ricordarti l'identità: $cosh^2t-sinh^2t=1 => 1+sinh^2t=cosh^2t$ da cui sostituendo ottieni: $1/2int cosh^2t \ dt$.
Ora sai che $cosht = (e^t+e^(-t))/2$. Sostituisci questa espressione e da qui in poi concludi te.
Ora sai che $cosht = (e^t+e^(-t))/2$. Sostituisci questa espressione e da qui in poi concludi te.
Grazie mille ti sono in debito 
Domani sarà il gran giorno...ti farò sapere il voto,ovviamente dedicato a te
Domani sarà il gran giorno...ti farò sapere il voto,ovviamente dedicato a te
voglio minimo un 7
"Covenant":
voglio minimo un 7
Alla fine non mi ha neanche chiamato,abbiamo fatto ripasso dato che sabato abbiamo compito.Abbiamo comunque corretto l'integrale (quello che ho postato per 1°)e ha detto anche lui che si poteva risolvere con le iperboliche o in un altro modo.Insomma l'ha risolto ma con mezza pagina di calcoli 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo