Aiuto studio di funzioni
Salve a tutti, esercitandomi sullo studio di funzioni trigonometriche mi è capitato di osservare uno studio di una funzione svolta dal libro, il cui testo è il seguente:
$f(x) = ln (x) - arctan (x)$... Vi posto la parte relativa alle intersezioni con gli assi:
$f(x)=0 -> ln (x) = arctan (x)$ e dice che questa va risolta per via numerica o grafica, ottenendo la radice k=3,69 circa, quindi il punto $A(k,0)$ appartiene al grafico della funzione.
Io non ho capito come ha fatto ad ottenere questo valore. Per via grafica tracciando il grafico prima di $ln (x)$ e poi di $arctan (x)$ si vede che si incontrano in un punto tra 0 e 1 , ma come si fa ad ottenere quel 3,69???
Qualcuno me lo potrebbe spiegare??
Grazie mille
$f(x) = ln (x) - arctan (x)$... Vi posto la parte relativa alle intersezioni con gli assi:
$f(x)=0 -> ln (x) = arctan (x)$ e dice che questa va risolta per via numerica o grafica, ottenendo la radice k=3,69 circa, quindi il punto $A(k,0)$ appartiene al grafico della funzione.
Io non ho capito come ha fatto ad ottenere questo valore. Per via grafica tracciando il grafico prima di $ln (x)$ e poi di $arctan (x)$ si vede che si incontrano in un punto tra 0 e 1 , ma come si fa ad ottenere quel 3,69???
Qualcuno me lo potrebbe spiegare??
Grazie mille
Risposte
I grafici delle due funzioni [tex]$\phi (x):=\ln x$[/tex] e [tex]$\psi (x):=\arctan x$[/tex] non possono incontrarsi in [tex]$]0,1]$[/tex].
Ciò si può stabilire, ad esempio, come segue.
Per [tex]$x\in ]0,1]$[/tex] si ha [tex]$\phi^\prime (x):= \frac{1}{x}$[/tex] e [tex]$\psi^\prime (x):=\frac{1}{1+x^2}$[/tex] per cui [tex]$\phi^\prime >\psi^\prime$[/tex] e quindi (per un noto teorema di confronto tra gli integrali):
[tex]$-\ln x =\int_x^1 \frac{1}{t} \ \text{d} t \geq \int_x^{\tfrac{\pi}{4}} \frac{1}{1+t^2} \ \text{d} t =\frac{\pi}{4} -\arctan x \quad \Rightarrow$[/tex]
[tex]$\Rightarrow \quad \ln x \leq \arctan x- \frac{\pi}{4} <\arctan x$[/tex].
Ciò si può stabilire, ad esempio, come segue.
Per [tex]$x\in ]0,1]$[/tex] si ha [tex]$\phi^\prime (x):= \frac{1}{x}$[/tex] e [tex]$\psi^\prime (x):=\frac{1}{1+x^2}$[/tex] per cui [tex]$\phi^\prime >\psi^\prime$[/tex] e quindi (per un noto teorema di confronto tra gli integrali):
[tex]$-\ln x =\int_x^1 \frac{1}{t} \ \text{d} t \geq \int_x^{\tfrac{\pi}{4}} \frac{1}{1+t^2} \ \text{d} t =\frac{\pi}{4} -\arctan x \quad \Rightarrow$[/tex]
[tex]$\Rightarrow \quad \ln x \leq \arctan x- \frac{\pi}{4} <\arctan x$[/tex].
infatti non si incontrano nellintrvallo $]0,1]$ ma nel punto di ascissa $x=3,69$ che a destra dell'intervallo...Come ha fatto "il libro" a ottenere quel 3,69???Ho disegnato la funzione con un semplice programma che disegna funzioni e il grafico risulta come quello del libro, come pure il punto (3,69 ; .0)!!!
Che il punto d'intersezione si trovi nell'intervallo [tex]$[3,4]$[/tex] si vede facendo decentemente il grafico.
[asvg]xmin=0;xmax=5;ymin=-3;ymax=2;
axes("","");
stroke="red";
plot("log(x)",0.01,6);
stroke="dodgerblue";
plot("arctan(x)",0.01,6);[/asvg]
Per un'approssimazione migliore si usano metodi numerici, tipo bisezione.
[asvg]xmin=0;xmax=5;ymin=-3;ymax=2;
axes("","");
stroke="red";
plot("log(x)",0.01,6);
stroke="dodgerblue";
plot("arctan(x)",0.01,6);[/asvg]
Per un'approssimazione migliore si usano metodi numerici, tipo bisezione.
Questo metodo di bisezione in cosa consiste??Perchè all'esame non posso ricordare a memoria come si disegnano tutte le funzioni nè tantomeno in codesti intervalli per quali punti passano!!!!
Grazie dell'aiuto.... già inizio a vederci più chiaro
Grazie dell'aiuto.... già inizio a vederci più chiaro
Se proprio non ti va di aprire libri, potresti buttare un'occhiata qui.
P.S.: La frase sull'imparare a memoria i grafici delle funzioni elementari proprio non l'ho capita...
P.S.: La frase sull'imparare a memoria i grafici delle funzioni elementari proprio non l'ho capita...
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