Aiuto studio di funzione integrale
Salve a tutti,
avrei bisogno di un aiutino di uno studio di funzione integrale di analisi 1. A breve avrò l'esame scritto di analisi 1, e sto svolgendo i compiti senza grosse difficoltà. Però il mio professore di analisi spesso mette nei compiti uno studio di funzione integrale strano. L'esercizio chiede la seguente:
Tenendo conto del noto risultato INT[e^(-t^2)dt] tra -infinito e +infinito = sqrt(pi)
Studiare la seguente funzione INT[e^(-t^2)dt] tra g(x) e 0 o tra 0 e g(x).
Su vari forum ho letto che questo integrale non si può risolvere con metodi elementari, quindi come posso fare lo studio?
Ovviamente potrei fare facilmente derivata prima e seconda, ma per il resto? Dominio? Intersezioni? Asintoti?
Inoltre volevo chiedervi se opero bene per quanto riguarda lo studio di funzione integrale. Per fare lo studio, quando l'integrale è facilemente risolvibile, lo risolvo e ne studio la funzione che risulta. Sbaglio?
Grazie in anticipo a tutti coloro che risponderanno!!!
avrei bisogno di un aiutino di uno studio di funzione integrale di analisi 1. A breve avrò l'esame scritto di analisi 1, e sto svolgendo i compiti senza grosse difficoltà. Però il mio professore di analisi spesso mette nei compiti uno studio di funzione integrale strano. L'esercizio chiede la seguente:
Tenendo conto del noto risultato INT[e^(-t^2)dt] tra -infinito e +infinito = sqrt(pi)
Studiare la seguente funzione INT[e^(-t^2)dt] tra g(x) e 0 o tra 0 e g(x).
Su vari forum ho letto che questo integrale non si può risolvere con metodi elementari, quindi come posso fare lo studio?
Ovviamente potrei fare facilmente derivata prima e seconda, ma per il resto? Dominio? Intersezioni? Asintoti?
Inoltre volevo chiedervi se opero bene per quanto riguarda lo studio di funzione integrale. Per fare lo studio, quando l'integrale è facilemente risolvibile, lo risolvo e ne studio la funzione che risulta. Sbaglio?
Grazie in anticipo a tutti coloro che risponderanno!!!
Risposte
Ah grazie, più in basso ho trovato anche lo studio che fa al caso mio! Però mi chiedevo una cosa, per il dominio? E' tutto R? Inoltre purtroppo nel mio libro non sono spiegati i criteri di convergenza per gli integrali? Sono per caso simili a quelli delle serie? Hai qualche link con corollari riguardanti questi criteri? Ti ringrazio anche per la tempestività della risposta!!!
il primo integrale è stranoto, ed è l'integrale di Gauss, che si risolve passando in coordinate polari, in $RR^2$, se non ricordo male. Per il secondo, se ci metti anche una g(x), diventa un funzionale e la cosa si complica...
Il problema è che sto studiando Analisi 1, e il mio professore mette questo integrale nei compiti di Analisi 1. Ora non so se quello di cui parli si fa in questa materia, ma il mio professore non ne ha mai parlato! E comunque ovvio che è un integrale noto, lo dice la consegna dell'esercizio!!!
Comunque ho letto il tutorial che mi ha postato Camillo (il quale ringrazio), e ho le idee più chiare. Però ora ho dei dubbi: quali sono i criteri di convergenza degli integrali? Come calcolo il dominio di una funzione integrale del genere?
Un esempio di valutazione di quell'integrale è il seguente, osserviamo che:
$int_{-oo}^{+oo}e^(-t^2)dt = sqrt(pi)$
$int_{0}^{g(x)}e^(-t^2)dt=int_{-oo}^{+oo}e^(-t^2)dt - int_{-oo}^{0}e^(-t^2)dt -int_{g(x)}^{+oo}e^(-t^2)dt$
Da cui per la simmetria di $e^(-t^2)$ ho che:
$int_{0}^{g(x)}e^(-t^2)dt=1/2sqrt(pi) -int_{g(x)}^{+oo}e^(-t^2)dt$
e ricordiamo il teorema del valor medio:
$(f(a)-f(b))/(h(a)-h(b))=(f'(zeta))/(h'(zeta))$ con $zeta in [a,b]$
ho che (considero $h:RR rightarrow RR$ dove $h(t)=1/t$):
$[int_{0}^{g(x)}e^(-t^2)dt - int_{0}^{+oo}e^(-t^2)dt]/(1/(g(x)))=-e^(-g(zeta)^2)/((g'(zeta))/(g(zeta)^2))$
qualche conto e ottengo:
$int_{0}^{g(x)}e^(-t^2)dt = -e^(-g(zeta)^2)/(g'(zeta))*(g(zeta)^2)*1/(g(x)) + 1/2sqrt(pi)$ con $zeta in [g(x), +oo]$
Ovvio controllate!
$int_{-oo}^{+oo}e^(-t^2)dt = sqrt(pi)$
$int_{0}^{g(x)}e^(-t^2)dt=int_{-oo}^{+oo}e^(-t^2)dt - int_{-oo}^{0}e^(-t^2)dt -int_{g(x)}^{+oo}e^(-t^2)dt$
Da cui per la simmetria di $e^(-t^2)$ ho che:
$int_{0}^{g(x)}e^(-t^2)dt=1/2sqrt(pi) -int_{g(x)}^{+oo}e^(-t^2)dt$
e ricordiamo il teorema del valor medio:
$(f(a)-f(b))/(h(a)-h(b))=(f'(zeta))/(h'(zeta))$ con $zeta in [a,b]$
ho che (considero $h:RR rightarrow RR$ dove $h(t)=1/t$):
$[int_{0}^{g(x)}e^(-t^2)dt - int_{0}^{+oo}e^(-t^2)dt]/(1/(g(x)))=-e^(-g(zeta)^2)/((g'(zeta))/(g(zeta)^2))$
qualche conto e ottengo:
$int_{0}^{g(x)}e^(-t^2)dt = -e^(-g(zeta)^2)/(g'(zeta))*(g(zeta)^2)*1/(g(x)) + 1/2sqrt(pi)$ con $zeta in [g(x), +oo]$
Ovvio controllate!
Grazie mille vedrò che posso fare! Anche se comunque citi teoremi che il mio professore non ha mai menzionato, spero che gli vada bene. Ah e per il dominio?
"Gios":
Grazie mille vedrò che posso fare! Anche se comunque citi teoremi che il mio professore non ha mai menzionato
Mi pare si chiami Teorema di Lagrange o Cauchy ora non ricordo il nome preciso, ma se parli di integrali, Rolle, Lagrange e compagnia bella dovresti averli visti (tutto deriva da loro)
Ah e per il dominio?
Sicuramente il codominio è contenuto in $RR^+$ visto che $e^(-t^2)$ è positiva, l'integrale è crescente e privo di punti a tangente orizzontale (se ci fosse esisterebbe $x_0$ tale che $e^(-x_0^2)=0$ che è assurdo).
Per il dominio, se $E$ è l'insieme di esistenza di $g(x)$ allora l'integrale mi pare abbia $E_I=E$. Infatti posso considerare:
$h(x)=int_0^x e^(-t^2) dt$
$h:RR rightarrow RR$
e:
$g: E rightarrow RR$
allora ho che:
$int_0^{g(x)} e^(-t^2) dt = h(g(x))$
Ed applico le regole della funzione composta che ci dicono che il dominio è proprio quello di $g(x)$.
Grazie ancora! Ma allora se mi si presenta una funzione di questo genere ma con estremi cambiati posso generalizzare dicendo che il dominio di F(x) è il dominio di g(x)? E per gli asintoti orizzontali?
In questo caso sì, per gli asintoti orizzontali fai qualche supposizione....
Ok ti ringrazio! Vedrò di approfondire meglio l'argomento!
Il mio era un modo per vedere come procedi 
Spero che gli vada bene al professore, perchè ho un professore che se le cose non si fanno come dice lui, non gli vanno bene...Ah potresti spiegarmi i criteri di convergenza sugli integrali, così posso trovare gli asintoti di questo tipo di funzione, perchè una volta che so questo potrei fare un ostudio abbastanza completo!
Dovresti valutare il limite:
$lim_(x rightarrow +oo) (\int_0^(g(x)) e^(-t^2) dt)/x$
In questo caso procedo con Hopital:
$lim_(x rightarrow +oo) (\int_0^(g(x)) e^(-t^2) dt)/x=lim_(x rightarrow +oo) e^(-g(x)^2)$
e da qui calcolo conoscendo $g(x)$.
$lim_(x rightarrow +oo) (\int_0^(g(x)) e^(-t^2) dt)/x$
In questo caso procedo con Hopital:
$lim_(x rightarrow +oo) (\int_0^(g(x)) e^(-t^2) dt)/x=lim_(x rightarrow +oo) e^(-g(x)^2)$
e da qui calcolo conoscendo $g(x)$.
devo procedere allo stesso modo anche per calcolare gli asintoti verticali?
Se il limite è un numero allora è il coefficiente angolare dell'asintoto obliquo (se zero è orizzontale, altrimenti è obliquo e procedi con il calcolo del valore della quota dell'asintoto) altrimenti se il limite è $+oo$ oppure $-oo$ l'asintoto è verticale!
Perfetto ti ringrazio, adesso credo di poter fare uno studio abbastanza completo, mancherebbero solo le intersezioni con gli assi.
In questo caso avresti:
$h(g(x))=0$ quindi dapprima dovresti trovare uno zero per $h(x)$ ma in questo caso ce n'è sono solo quelli in cui $g(x)=0$ in quanto l'integrale di suo è tale che:
$0
ed anche perchè:
$h(x)=int_0^{x} e^(-t^2) dt$ è strettamente crescente.
$h(g(x))=0$ quindi dapprima dovresti trovare uno zero per $h(x)$ ma in questo caso ce n'è sono solo quelli in cui $g(x)=0$ in quanto l'integrale di suo è tale che:
$0
ed anche perchè:
$h(x)=int_0^{x} e^(-t^2) dt$ è strettamente crescente.
Perfetto ti ringrazio! Farò tesoro delle tue spiegazioni! Grazie mille!
Ah perdonami un'altra informazione. Siccome mi sono capitate, però più raramente, lo studio di funzioni integrali definite del tipo (e^t)/t e (sin x)/x, posso fare gli stessi ragionamenti adoperati per questo studio di funzione integrale?
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