Aiuto studio convergenza integrale
Ciao a tutti
avrei bisogno di qualche suggerimento su come procedere nello studio della convergenza di questo integrale
[tex]\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\sqrt{x-x^{2}}}{sin(\pi x)} dx[/tex]
ho pensato di approssimare $sin (pi x)$ a $pi x$ quindi ottengo
[tex]\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\sqrt{x-x^{2}}}{\pi x} dx = \frac{1}{\pi }\int_{0}^{1} \frac{\sqrt{x-x^{2}}}{ \sqrt{x^{2}}} dx = \frac{1}{\pi }\int_{0}^{1} \sqrt{\frac{1-x}{x}} dx[/tex]
a questo punto mi blocco.
Potreste darmi una mano?
avrei bisogno di qualche suggerimento su come procedere nello studio della convergenza di questo integrale
[tex]\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\sqrt{x-x^{2}}}{sin(\pi x)} dx[/tex]
ho pensato di approssimare $sin (pi x)$ a $pi x$ quindi ottengo
[tex]\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\sqrt{x-x^{2}}}{\pi x} dx = \frac{1}{\pi }\int_{0}^{1} \frac{\sqrt{x-x^{2}}}{ \sqrt{x^{2}}} dx = \frac{1}{\pi }\int_{0}^{1} \sqrt{\frac{1-x}{x}} dx[/tex]
a questo punto mi blocco.
Potreste darmi una mano?
Risposte
Confronta con
\[
\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx\]
\[
\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx\]
Ci avevo pensato ma non ero sicuro di poterlo usare
posso dire che
[tex]\displaystyle \sqrt{\frac{1-x}{x}} < \frac{1}{\sqrt{x}}[/tex] e quindi dato che il secondo converge allora converge anche il primo?
posso dire che
[tex]\displaystyle \sqrt{\frac{1-x}{x}} < \frac{1}{\sqrt{x}}[/tex] e quindi dato che il secondo converge allora converge anche il primo?
E non lo so, lo dovresti dimostrare. 
Si capisce comunque che
\[\tag{1}
\sqrt{ \frac{1-x}{x} }\le C \frac{1}{\sqrt{x}}, \qquad \forall x \in (0, 1)
\]
per qualche costante \(C>0\). Infatti, quando \(x\) è piccolina il termine \(1-x\) non è tanto più piccolo di \(1\). Chiaro cosa voglio dire?
Ragionando così, ma un pelino più formalmente, si dimostra facilmente la (1). Mi pare che come costante si possa prendere \(C=\sqrt{2}\).
Si capisce comunque che
\[\tag{1}
\sqrt{ \frac{1-x}{x} }\le C \frac{1}{\sqrt{x}}, \qquad \forall x \in (0, 1)
\]
per qualche costante \(C>0\). Infatti, quando \(x\) è piccolina il termine \(1-x\) non è tanto più piccolo di \(1\). Chiaro cosa voglio dire?
Ragionando così, ma un pelino più formalmente, si dimostra facilmente la (1). Mi pare che come costante si possa prendere \(C=\sqrt{2}\).
scusa ma non è automaticamente dimostrato dal fatto che nell'intervallo $0
dico bene?
dico bene?
Certamente, hai ragione, è ancora più facile. Visto che le cose le sai? E allora perché dici che "non sei sicuro di poterlo usare"?
il dubbio me lo sono chiarito mentre tu mi hai risposo 
Mi senso ancora parecchio "instabile" su questo argomento
Mi senso ancora parecchio "instabile" su questo argomento
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