Aiuto, studiare carattere integrale improprio!
Salve a tutti, sono nuovo! 
Potete aiutarmi a risolvere questo esercizio? Non so bene come muovermi, ho visto sul libro i p-integrali, ma non ho capito molto come fare i confronti..Non sono poi riuscito a trovare il confronto asintotico applicato agli integrali, ho solo letto qualcosa sul web ma a dire il vero non ho capito granchè (nè se effettivamente possa essermi utile).. Comunque, ecco l'esercizio!
$ int_(1)^(oo ) (sqrt(2+x^2)-x)/sqrt(x)dx $
Grazie in anticipo per i vostri preziosissimi consigli!
Potete aiutarmi a risolvere questo esercizio? Non so bene come muovermi, ho visto sul libro i p-integrali, ma non ho capito molto come fare i confronti..Non sono poi riuscito a trovare il confronto asintotico applicato agli integrali, ho solo letto qualcosa sul web ma a dire il vero non ho capito granchè (nè se effettivamente possa essermi utile).. Comunque, ecco l'esercizio!$ int_(1)^(oo ) (sqrt(2+x^2)-x)/sqrt(x)dx $
Grazie in anticipo per i vostri preziosissimi consigli!
Risposte
Si tratta di un integrale improprio di II tipo (o II specie).
Infatti, l'estremo che ci dà "fastidio" è proprio $+oo$.
Ciò che vogliamo chiederci è se la funzione è integrabile o meno in senso improprio nell' intervallo $[1,+oo)$.
Esiste il criterio di convergenza degli integrali impropri di II tipo, il quale afferma che:
Data una funzione $f: [a,+oo) -> R$ continua e con $lim_(x->+oo) f(x) = 0$
Allora:
■ Se il $lim_(x->+oo) f(x)$ tende a $0$, con ordine $>=c > 1$ $rArr$ $f$ è integrabile in senso improprio in $[0,+oo)$
■ Se, invece, il $lim_(x->+oo) f(x)$ tende a $0$, con ordine $<=c <=1$ $rArr$ $f$ non è assolutamente integrabile,il ché non equivale necessariamente al dire che $f$ non sia integrabile (come,invece, molto spesso ho trovato su alcuni libri,per semplificare il problema) *.
In parole povere, quando ti si chiede di vedere se una funzione è integrabile in un intervallo non chiuso o limitato del tipo $[a,b)$ (aperto in $b$!), la richiesta è semplice:
Posso calcolare l'area del rettangoloide di base $a,b$??
Attento, perché non è detto che l'area sia $+oo$, perché $f$ può avvicinarsi a $b$ talmente tanto lentamente che alla fine il contributo che dà all'area è trascurabile.
ecco perché ci si chiede se è integrabile (cioè l'area è finita) oppure non lo è (l'area è infinita)
___________________________________
* Infatti se $f$ ha segno costante in $[a,+oo)$, allora $f$ assolutamente integrabile è equivalente a dire ($hArr$) che $f$ è integrabile in senso improprio.
Mentre se $f$ cambia segno infinite volte a $+oo$, allora:
$f$ assolutamente integrabile in $[a,+oo)$ $rArr$ $f$ integrabile in $[a,+oo)$
ma non è detto che sia vero il viceversa (cioè il caso del criterio).
Meglio, però non addentrarsi troppo in questi casi particolari,perché probabilmente hai appena iniziato ad affrontare questo tipo di problemi e non vorrei confonderti le idee..
Se,però, vuoi chiarimenti ulteriori a riguardo, dimmelo.
Infatti, l'estremo che ci dà "fastidio" è proprio $+oo$.
Ciò che vogliamo chiederci è se la funzione è integrabile o meno in senso improprio nell' intervallo $[1,+oo)$.
Esiste il criterio di convergenza degli integrali impropri di II tipo, il quale afferma che:
Data una funzione $f: [a,+oo) -> R$ continua e con $lim_(x->+oo) f(x) = 0$
Allora:
■ Se il $lim_(x->+oo) f(x)$ tende a $0$, con ordine $>=c > 1$ $rArr$ $f$ è integrabile in senso improprio in $[0,+oo)$
■ Se, invece, il $lim_(x->+oo) f(x)$ tende a $0$, con ordine $<=c <=1$ $rArr$ $f$ non è assolutamente integrabile,il ché non equivale necessariamente al dire che $f$ non sia integrabile (come,invece, molto spesso ho trovato su alcuni libri,per semplificare il problema) *.
In parole povere, quando ti si chiede di vedere se una funzione è integrabile in un intervallo non chiuso o limitato del tipo $[a,b)$ (aperto in $b$!), la richiesta è semplice:
Posso calcolare l'area del rettangoloide di base $a,b$??
Attento, perché non è detto che l'area sia $+oo$, perché $f$ può avvicinarsi a $b$ talmente tanto lentamente che alla fine il contributo che dà all'area è trascurabile.
ecco perché ci si chiede se è integrabile (cioè l'area è finita) oppure non lo è (l'area è infinita)
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* Infatti se $f$ ha segno costante in $[a,+oo)$, allora $f$ assolutamente integrabile è equivalente a dire ($hArr$) che $f$ è integrabile in senso improprio.
Mentre se $f$ cambia segno infinite volte a $+oo$, allora:
$f$ assolutamente integrabile in $[a,+oo)$ $rArr$ $f$ integrabile in $[a,+oo)$
ma non è detto che sia vero il viceversa (cioè il caso del criterio).
Meglio, però non addentrarsi troppo in questi casi particolari,perché probabilmente hai appena iniziato ad affrontare questo tipo di problemi e non vorrei confonderti le idee..
Se,però, vuoi chiarimenti ulteriori a riguardo, dimmelo.
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