Aiuto... sto sprofondando!
è da stamattina che tento di calcolare il limite seguente.. ovviamente sono mediante l'uso dei limiti notevoli.. credo di essere totalmente ignorante.. secondo me mi manca un bel po' di teoria per non riuscirci.. come si fa? aiuto... ho l'esame tra 15 giorni..
grazie
\[ \lim_(x->0)\frac{sen(x)-log(x+1)}{x^2} \]
grazie
Risposte
ma i i limiti notevoli non sono sufficienti per calcolare quel limite...
perchè?.. non posso risolvere qualunque limite (anche se difficilissimo) senza ricorrere a l'hopital o taylor?
no serve un tecnica piu avazata, come Taylor o De L'Hopital, per calcolare quel limite. In ogni caso, se non hai fatto ne Taylor, ne De L'hopital, non ha senso fare esercizi a caso, magari presi da qualche tema d'esame, perchè rischi di fare confusione, e di "angosciarti" 
"felice@gismail.it":
perchè?.. non posso risolvere qualunque limite (anche se difficilissimo) senza ricorrere a l'hopital o taylor?
guarda che non è difficile come tu pensi,, basta utilizzare i due limiti notevoli:
$lim_(x->0)((sen(x))/x) = 1 $ e $lim_(x->0)(log(x+1)/x) = 1$
quindi:
$lim_(x->0)((sen(x) - log(x+1))/x^2) = lim_(x->0)( ((sen(x))/x)*x - (log(x+1)/x)*x) /x^2 = $
e facendo uso dei limiti notevoli posso riscrivere il tutto come:
$lim_(x->0)(x - x) /x^2 = lim_(x->0) 0/x^2 = 0$
Ma non basta questo?
$\lim_{x\to0}{\frac{1}{x}(\frac{\sin x}{x}-\frac{\log(1+x)}{x})}$.
Dai limiti notevoli sai che $\frac{\sin x}{x}$ tende a $1$, $\frac{\log(1+x)}{x}$ tende a $1$. Quindi il limite è $0$.
$\lim_{x\to0}{\frac{1}{x}(\frac{\sin x}{x}-\frac{\log(1+x)}{x})}$.
Dai limiti notevoli sai che $\frac{\sin x}{x}$ tende a $1$, $\frac{\log(1+x)}{x}$ tende a $1$. Quindi il limite è $0$.
"Giux":
[quote="felice@gismail.it"]perchè?.. non posso risolvere qualunque limite (anche se difficilissimo) senza ricorrere a l'hopital o taylor?
guarda che non è difficile come tu pensi,, basta utilizzare i due limiti notevoli:
$lim_(x->0)((sen(x))/x) = 1 $ e $lim_(x->0)(log(x+1)/x) = 1$
quindi:
$lim_(x->0)((sen(x) - log(x+1))/x^2) = lim_(x->0)( ((sen(x))/x)*x - (log(x+1)/x)*x) /x^2 = $
e facendo uso dei limiti notevoli posso riscrivere il tutto come:
$lim_(x->0)(x - x) /x^2 = lim_(x->0) 0/x^2 = 0$[/quote]
Assolutamente sbagliato! Se lo risolvevi così un limite in uno dei mie compiti era meglio se non ti facevi più vedere ad un esame per un paio di anni!
"Lory314":
Ma non basta questo?
$\lim_{x\to0}{\frac{1}{x}(\frac{\sin x}{x}-\frac{\log(1+x)}{x})}$.
Dai limiti notevoli sai che $\frac{\sin x}{x}$ tende a $1$, $\frac{\log(1+x)}{x}$ tende a $1$. Quindi il limite è $0$.
è sbagliato!
hai una forma indeterminata $+\infty \cdot 0$
"Lory314":
Ma non basta questo?
$\lim_{x\to0}{\frac{1}{x}(\frac{\sin x}{x}-\frac{\log(1+x)}{x})}$.
Dai limiti notevoli sai che $\frac{\sin x}{x}$ tende a $1$, $\frac{\log(1+x)}{x}$ tende a $1$. Quindi il limite è $0$.
Neanche! State affermando qualcosa di molto stupido, se ci pensate bene: la funzione $\sin x-\log(1+x)$ è sicuramente non nulla, vero? Mentre voi state dicendo che
$\sin x-\log(1+x)\sim x-x=0$
cioè che tale funzione è in un intorno di $x=0$ coincidente con la funzione nulla.
Il ragionamento corretto prevede l'uso di Taylor o di un ragionamento di qualche tipo sugli "o piccoli" che qui non vedo.
"Noisemaker":
[quote="Lory314"]Ma non basta questo?
$\lim_{x\to0}{\frac{1}{x}(\frac{\sin x}{x}-\frac{\log(1+x)}{x})}$.
Dai limiti notevoli sai che $\frac{\sin x}{x}$ tende a $1$, $\frac{\log(1+x)}{x}$ tende a $1$. Quindi il limite è $0$.
è sbagliato!
hai una forma indeterminata $+\infty \cdot 0$[/quote]Certo.. approvo quanto detto da Noisemaker..
in questo caso , bisogna usare gli sviluppi di Taylor ( o se qualcuno vuole De L'Hopital); i limiti notevoli (cioè se vogliamo lo sviluppo di Taylor arrestato al primo ordine) non è sufficiente!
Sì, Giux, approverai pure, ma tu hai detto una cosa ancora peggiore! Leggi sopra!
"felice@gismail.it":
... ho l'esame tra 15 giorni..
e ancora niente Taylor? o De L'Hopital?
"ciampax":
[quote="Giux"][quote="felice@gismail.it"]perchè?.. non posso risolvere qualunque limite (anche se difficilissimo) senza ricorrere a l'hopital o taylor?
guarda che non è difficile come tu pensi,, basta utilizzare i due limiti notevoli:
$lim_(x->0)((sen(x))/x) = 1 $ e $lim_(x->0)(log(x+1)/x) = 1$
quindi:
$lim_(x->0)((sen(x) - log(x+1))/x^2) = lim_(x->0)( ((sen(x))/x)*x - (log(x+1)/x)*x) /x^2 = $
e facendo uso dei limiti notevoli posso riscrivere il tutto come:
$lim_(x->0)(x - x) /x^2 = lim_(x->0) 0/x^2 = 0$[/quote]
Assolutamente sbagliato! Se lo risolvevi così un limite in uno dei mie compiti era meglio se non ti facevi più vedere ad un esame per un paio di anni!
[/quote]ci sto provando più volte ed ottengo sempre 0 non ho capito dov'è l'errore...
Come Ciampax ha suggerito del numeratore puoi soltanto dire che per $x->0$, $sin(x)-log(1+x)=o(x)$, quindi al primo ordine non concludi nulla
e dalle
\[\lim_{x\to 0}\frac{\sin x-\ln(1+x)}{x^2}\stackrel{\bf(T)}{=}\lim_{x\to 0}\frac{x-\frac{x^3}{3!}-x+\frac{x^2}{2}+o(x^3)}{x^2} =\lim_{x\to 0}\frac{ \frac{x^2}{2}+o(x^3)}{x^2}=\frac{1}{2}\]
\[\lim_{x\to 0}\frac{\sin x-\ln(1+x)}{x^2}\stackrel{\bf(T)}{=}\lim_{x\to 0}\frac{x-\frac{x^3}{3!}-x+\frac{x^2}{2}+o(x^3)}{x^2} =\lim_{x\to 0}\frac{ \frac{x^2}{2}+o(x^3)}{x^2}=\frac{1}{2}\]
Con Taylor:
$\sin x=x-x^3/6+o(x^3),\qquad \log(1+x)=x-x^2/2+x^3/3+o(x^3)$
pertanto il numeratore diventa $\sin x-\log(1+x)=x-x^3/6-x+x^2/2-x^3/3+o(x^3)=x^2/2+o(x^2)$ epertanto il limite viene $1/2$ in quanto
$\lim_{x\to 0}\frac{x^2/2+o(x^2)}{x^2}=1/2$.
@Noise: allora dillo che è un vizio il tuo!
$\sin x=x-x^3/6+o(x^3),\qquad \log(1+x)=x-x^2/2+x^3/3+o(x^3)$
pertanto il numeratore diventa $\sin x-\log(1+x)=x-x^3/6-x+x^2/2-x^3/3+o(x^3)=x^2/2+o(x^2)$ epertanto il limite viene $1/2$ in quanto
$\lim_{x\to 0}\frac{x^2/2+o(x^2)}{x^2}=1/2$.
@Noise: allora dillo che è un vizio il tuo!
hahahah
scusa!
scusa!
"Lory314":
Ma non basta questo?
$\lim_{x\to0}{\frac{1}{x}(\frac{\sin x}{x}-\frac{\log(1+x)}{x})}$.
Dai limiti notevoli sai che $\frac{\sin x}{x}$ tende a $1$, $\frac{\log(1+x)}{x}$ tende a $1$. Quindi il limite è $0$.
LOL...ho fatto mezzo limite per $x\to0$ e mezzo per $x\to\infty$....troppo fuso oggi!!!!!!!!!
"Lory314":
[quote="Lory314"]Ma non basta questo?
$\lim_{x\to0}{\frac{1}{x}(\frac{\sin x}{x}-\frac{\log(1+x)}{x})}$.
Dai limiti notevoli sai che $\frac{\sin x}{x}$ tende a $1$, $\frac{\log(1+x)}{x}$ tende a $1$. Quindi il limite è $0$.
LOL...ho fatto mezzo limite per $x\to0$ e mezzo per $x\to\infty$....troppo fuso oggi!!!!!!!!![/quote]
be se fosse stato tutto per $x\to +\infty$ non avremo avuto problemi ... o no?
Si si, ma io ho fatto il pezzo tra parentesi per $x\to0$ e l'$1/x$ per $x\to\infty$....quindi mi rimaneva $0\cdot0$
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