Aiuto. Serie numerica con parametro
CIao a tutti, ho difficoltà a svolgere questo esercizio. Aiutatemi per favore. Grazie in anticipo
Si chiede
Stabilire per quali valori del parametro \(\displaystyle \alpha \in \mathbb{R} \), si ha convergenza semplice della seguente serie. Spercificare inoltre per quali valori di \(\displaystyle \alpha \) la convergenza della serie è assoluta
\(\displaystyle \sum \frac{(-5)^n+\alpha^n}{5^n}\sin\left(\pi+\frac{1}{n}\right) \)
ho inziato a svolgerla così
messo a posto il termine generale che diventa \(\displaystyle a_n=\left((-1)^n+\left(\frac{\alpha}{5}\right)^n\right)\left(-\sin \left(\frac{1}{n}\right)\right) \)
riscrivo ancora meglio \(\displaystyle a_n=-\left[\left((-1)^n+\left(\frac{\alpha}{5}\right)^n\right)\left(\sin \left(\frac{1}{n}\right)\right)\right] \)
\(\displaystyle \sin\left(\frac{1}{n}\right)\sim \frac{1}{n} \)
per cui posso riscrivere così \(\displaystyle a_n=-\left[\left((-1)^n+\left(\frac{\alpha}{5}\right)^n\right)\left(\frac{1}{n}\right)\right] \)
Utilizzo il Criterio di Leibniz e suddivido i vari casi
per \(\displaystyle \alpha = 5; a_n\rightarrow 0 \)
per \(\displaystyle \alpha < 5; a_n\rightarrow 0 \)
per \(\displaystyle \alpha >5 \) diverge!
ORA arriva il punto in cui mi blocco, come faccio ad usare la seconda ipotesi del Criterio di Leibniz, per \(\displaystyle \alpha=5 \) e per \(\displaystyle \alpha<5 \)?
perchè per \(\displaystyle \alpha<5 \) ho una successione crescente moltiplicata per una successione decrescente!
Come fare?
Aiutatemi per favore.
Grazie in anticipo!
Si chiede
Stabilire per quali valori del parametro \(\displaystyle \alpha \in \mathbb{R} \), si ha convergenza semplice della seguente serie. Spercificare inoltre per quali valori di \(\displaystyle \alpha \) la convergenza della serie è assoluta
\(\displaystyle \sum \frac{(-5)^n+\alpha^n}{5^n}\sin\left(\pi+\frac{1}{n}\right) \)
ho inziato a svolgerla così
messo a posto il termine generale che diventa \(\displaystyle a_n=\left((-1)^n+\left(\frac{\alpha}{5}\right)^n\right)\left(-\sin \left(\frac{1}{n}\right)\right) \)
riscrivo ancora meglio \(\displaystyle a_n=-\left[\left((-1)^n+\left(\frac{\alpha}{5}\right)^n\right)\left(\sin \left(\frac{1}{n}\right)\right)\right] \)
\(\displaystyle \sin\left(\frac{1}{n}\right)\sim \frac{1}{n} \)
per cui posso riscrivere così \(\displaystyle a_n=-\left[\left((-1)^n+\left(\frac{\alpha}{5}\right)^n\right)\left(\frac{1}{n}\right)\right] \)
Utilizzo il Criterio di Leibniz e suddivido i vari casi
per \(\displaystyle \alpha = 5; a_n\rightarrow 0 \)
per \(\displaystyle \alpha < 5; a_n\rightarrow 0 \)
per \(\displaystyle \alpha >5 \) diverge!
ORA arriva il punto in cui mi blocco, come faccio ad usare la seconda ipotesi del Criterio di Leibniz, per \(\displaystyle \alpha=5 \) e per \(\displaystyle \alpha<5 \)?
perchè per \(\displaystyle \alpha<5 \) ho una successione crescente moltiplicata per una successione decrescente!
Come fare?
Aiutatemi per favore.
Grazie in anticipo!
Risposte
Io spezzerei la somma e farei delle considerazioni sulle due serie che ottieni separatamente.
per favore mi dica meglio. Mi dia qualche idea..
Ho provato a rifarla, ma mi blocco sempre!..
scrivo fino al punto in cui NON mi blocco
il termine generale lo posso vedere come \(\displaystyle a_n=-\left[(-1)^n+\left(\frac{\alpha}{5}\right)^n\right]\sin\left(\frac{1}{n}\right)=-(-1)^n\sin\left(\frac{1}{n}\right)-\left(\frac{\alpha}{5}\right)^n\sin\left(\frac{1}{n}\right) \)
ora il primo pezzo cioe` \(\displaystyle -(-1)^n\sin\left(\frac{1}{n}\right) \rightarrow0 \)
e il secondo pezzo \(\displaystyle -\left(\frac{\alpha}{5}\right)^n\sin\left(\frac{1}{n}\right) \) CONVERGE solo per \(\displaystyle -5\leq \alpha \leq 5 \)
ora \(\displaystyle \sum (-1)^n \sin \left(\frac{1}{n}\right) \) converge per Leibniz
ora pero` mi blocco su questo pezzo
\(\displaystyle \sum \left(\frac{\alpha}{5}\right)^n\sin\left(\frac{1}{n}\right) \)
Lo so forse mi pero in 1 bicchiere d`acqua. Aiutatemi non so piu` andare avanti!..
scrivo fino al punto in cui NON mi blocco
il termine generale lo posso vedere come \(\displaystyle a_n=-\left[(-1)^n+\left(\frac{\alpha}{5}\right)^n\right]\sin\left(\frac{1}{n}\right)=-(-1)^n\sin\left(\frac{1}{n}\right)-\left(\frac{\alpha}{5}\right)^n\sin\left(\frac{1}{n}\right) \)
ora il primo pezzo cioe` \(\displaystyle -(-1)^n\sin\left(\frac{1}{n}\right) \rightarrow0 \)
e il secondo pezzo \(\displaystyle -\left(\frac{\alpha}{5}\right)^n\sin\left(\frac{1}{n}\right) \) CONVERGE solo per \(\displaystyle -5\leq \alpha \leq 5 \)
ora \(\displaystyle \sum (-1)^n \sin \left(\frac{1}{n}\right) \) converge per Leibniz
ora pero` mi blocco su questo pezzo
\(\displaystyle \sum \left(\frac{\alpha}{5}\right)^n\sin\left(\frac{1}{n}\right) \)
Lo so forse mi pero in 1 bicchiere d`acqua. Aiutatemi non so piu` andare avanti!..
Spezzettare le serie quando non si sà se esse convergono o meno è sempre una cosa avventata da fare, perché potrebbe comportare una perdita di informazioni.
Per risolvere l'esercizio basta far vedere che per qualche \(\alpha\) è possibile applicare il criterio di Dirichlet (per l'enunciato cfr. qui, primo spoiler).
Ciò è semplice perché la successione \(\sin 1/n\) è positiva, decrescente ed infinitesima, quindi basta solo determinare per quali valori di \(\alpha\) la serie \(\sum_{n\geq 1} (-1)^n + (\alpha /5)^n\) ha le somme parziali limitate. Quest'ultimo fatto è banale, perché le somme parziali di quest'ultima serie si possono scrivere esplicitamente.
Per risolvere l'esercizio basta far vedere che per qualche \(\alpha\) è possibile applicare il criterio di Dirichlet (per l'enunciato cfr. qui, primo spoiler).
Ciò è semplice perché la successione \(\sin 1/n\) è positiva, decrescente ed infinitesima, quindi basta solo determinare per quali valori di \(\alpha\) la serie \(\sum_{n\geq 1} (-1)^n + (\alpha /5)^n\) ha le somme parziali limitate. Quest'ultimo fatto è banale, perché le somme parziali di quest'ultima serie si possono scrivere esplicitamente.
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