Aiuto serie di potenze
Ciao a tutti, ho un problema con la seguente serie di potenze:
(3^sqrt(5))/n x^n.
Dai risultati so che il raggio viene 1, sapete dirmi come arrivarci?
(3^sqrt(5))/n x^n.
Dai risultati so che il raggio viene 1, sapete dirmi come arrivarci?
Risposte
La serie è questa?
$\sum_{n=}^\infty {3^\sqrt{5}}/n x^n$
(Dovresti sforzarti di imapre a scrivere usando il codice come spiegato qui: come-si-scrivono-le-formule-asciimathml-e-tex-t26179.html).
Per prima cosa: calcolato il raggio di convergenza? Quanto vale? Punto due: la serie ha un termine generale del tipo $x^n/n$: ti viene in mente qualche sviluppo notevole che ha un termine simile (non necessariamente uguale)?
$\sum_{n=}^\infty {3^\sqrt{5}}/n x^n$
(Dovresti sforzarti di imapre a scrivere usando il codice come spiegato qui: come-si-scrivono-le-formule-asciimathml-e-tex-t26179.html).
Per prima cosa: calcolato il raggio di convergenza? Quanto vale? Punto due: la serie ha un termine generale del tipo $x^n/n$: ti viene in mente qualche sviluppo notevole che ha un termine simile (non necessariamente uguale)?
Scusa ho sbagliato scrivere la radice è di n non di 5, chiedo scusa. Ci ho provato ma non riuscivo a scrivere la potenza radice di n.
Quindi è questa:
$\sum_{n=1}^\infty \frac{3^{\sqrt{n}}}{n} x^n$ ?
$\sum_{n=1}^\infty \frac{3^{\sqrt{n}}}{n} x^n$ ?
esatto! non so trovare il raggio di convergenza....
Indicato $a_n={3^{\sqrt{n}}}/n$ il raggio di convergenza lo puoi trovare calcolando
$R=\lim_{n\to+\infty}|{a_{n+1}}/{a_n}|$
Prova.
$R=\lim_{n\to+\infty}|{a_{n+1}}/{a_n}|$
Prova.
L'ho fatto ma non riesco a semplificare niente, mi viene infinito su infinito
Vediamo
$R=\lim_{n\to+\infty}\frac{3^{\sqrt{n+1}}}{n+1}\cdot{n}/{3^{\sqrt{n}}}=\lim_{n\to+\infty} n/{n+1}\cdot 3^{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}$
Scritto così dovrebbe essere un po' più abbordabile.
$R=\lim_{n\to+\infty}\frac{3^{\sqrt{n+1}}}{n+1}\cdot{n}/{3^{\sqrt{n}}}=\lim_{n\to+\infty} n/{n+1}\cdot 3^{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}$
Scritto così dovrebbe essere un po' più abbordabile.
le due radici si annullano e quindi il limiti va ad 1 giusto?
$n/(n+1) -> 1$ hanno stesso ordine
e ovviamente anche
$3^[sqrt(n+1) - sqrt(n)] -> 1$
dunque è $1$
scusa per l'intromissione
ma per il raggio non è:
$l = lim_n |a_(n+1)|/|a_n|$
e poi $R=1/l$?
e ovviamente anche
$3^[sqrt(n+1) - sqrt(n)] -> 1$
dunque è $1$
scusa per l'intromissione
ma per il raggio non è:
$l = lim_n |a_(n+1)|/|a_n|$
e poi $R=1/l$?
Sì, il limite è 1, ma non per quello che dite:
$\sqrt{n}-\sqrt{n+1}$ è una forma indeterminata $\infty-\infty$ che si risolve antirazionalizzando e diventa ${1}/{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$ che ha limite zero.
@bart: sì, mi sono perso un $-1$ ad esponente del raggio.
$\sqrt{n}-\sqrt{n+1}$ è una forma indeterminata $\infty-\infty$ che si risolve antirazionalizzando e diventa ${1}/{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$ che ha limite zero.
@bart: sì, mi sono perso un $-1$ ad esponente del raggio.
Mi sai spiegare l'antirazzionalizzazione? Grazie!
In pratica il limite puoi calcolarlo così:
$\lim_{n\to+\infty}(\sqrt{n}-\sqrt{n+1})=\lim_{n\to+\infty}(\sqrt{n}-\sqrt{n+1})\cdot\frac{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\lim_{n\to+\infty}\frac{n-n-1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\lim_{n\to+\infty}\frac{-1}{2\sqrt{n}}=0$
E' come la razionalizzazione per i radicali quando ne hai uno a denominatore, ma al contrario: in generale se hai un limite del tipo
$\lim_{n\to+\infty}(a_n-b_n)$
che si presenta in forma indeterminata $+\infty-\infty$ puoi moltiplicare numeratore e denominatore per $a_n+b_n$ per ottenere il nuovo limite
$\lim_{n\to+\infty}\frac{a_n^2-b_n^2}{a_n+b_n}$
dove, di solito, al numeratore si semplifica della roba e si elimina la forma indeterminata e al denominatore, essendoci ora una somma, la forma indeterminata di prima scompare.
$\lim_{n\to+\infty}(\sqrt{n}-\sqrt{n+1})=\lim_{n\to+\infty}(\sqrt{n}-\sqrt{n+1})\cdot\frac{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\lim_{n\to+\infty}\frac{n-n-1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\lim_{n\to+\infty}\frac{-1}{2\sqrt{n}}=0$
E' come la razionalizzazione per i radicali quando ne hai uno a denominatore, ma al contrario: in generale se hai un limite del tipo
$\lim_{n\to+\infty}(a_n-b_n)$
che si presenta in forma indeterminata $+\infty-\infty$ puoi moltiplicare numeratore e denominatore per $a_n+b_n$ per ottenere il nuovo limite
$\lim_{n\to+\infty}\frac{a_n^2-b_n^2}{a_n+b_n}$
dove, di solito, al numeratore si semplifica della roba e si elimina la forma indeterminata e al denominatore, essendoci ora una somma, la forma indeterminata di prima scompare.
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