Aiuto serie di Maclaurin
Ciao, ecco il mio problema:
ho una serie di maclaurin $\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$ , con x>0
come dimostro che:
SE $\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n=0$
ALLORA $f^{(0)} = f^{(1)} = frac{f^{(2)}(0)}{2} = ... = 0$
ho una serie di maclaurin $\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$ , con x>0
come dimostro che:
SE $\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n=0$
ALLORA $f^{(0)} = f^{(1)} = frac{f^{(2)}(0)}{2} = ... = 0$
Risposte
Aspetta un attimo.
L'ipotesi è che succeda $\sum_(n=0)^(+oo) (f^((n))(0))/(n!)x^n=0$ uniformemente per ogni scelta di $x$ in un intorno di $0$ (ossia in $]-rho, rho[$ con $rho>0$)?
In tal caso la risposta è semplice: quando una serie di potenze converge uniformemente in un intervallo $]-rho,rho[$, la sua somma, diciamola $g$, è una funzione di classe $C^oo(]-rho,rho[)$ le cui derivate si possono ottenere derivando la serie termine a termine. Nel tuo caso la somma $g$ è la funzione identicamente nulla in $]-rho,rho[$ e perciò ha le derivate tutte nulle in $]-rho,rho[$; visto che:
$g^((k))(x)=\sum_(n=k)^(+oo)(f^((n))(0))/((n-k)!)x^(n-k) quad$,
in particolare hai $0=g^((k))(0)=f^((k))(0)$ per ogni $k in NN$. Quindi i coefficienti di Taylor di $f$, ossia $(f^((n))(0))/(n!)$, sono tutti nulli.
Nota che non ho usato $f$ per denotare la somma della serie di McLaurin; ciò è dovuto al fatto che la serie di McLaurin relativa ad $f$ può non convergere ad $f$ (come mostra il classico esempio della funzione $f(x)=\{(e^(-1/x^2), " se " x>0),(0, " se "xle 0):}$, la cui serie di McLaurin converge alla funzione identicamente nulla in tutto $RR$).
L'ipotesi è che succeda $\sum_(n=0)^(+oo) (f^((n))(0))/(n!)x^n=0$ uniformemente per ogni scelta di $x$ in un intorno di $0$ (ossia in $]-rho, rho[$ con $rho>0$)?
In tal caso la risposta è semplice: quando una serie di potenze converge uniformemente in un intervallo $]-rho,rho[$, la sua somma, diciamola $g$, è una funzione di classe $C^oo(]-rho,rho[)$ le cui derivate si possono ottenere derivando la serie termine a termine. Nel tuo caso la somma $g$ è la funzione identicamente nulla in $]-rho,rho[$ e perciò ha le derivate tutte nulle in $]-rho,rho[$; visto che:
$g^((k))(x)=\sum_(n=k)^(+oo)(f^((n))(0))/((n-k)!)x^(n-k) quad$,
in particolare hai $0=g^((k))(0)=f^((k))(0)$ per ogni $k in NN$. Quindi i coefficienti di Taylor di $f$, ossia $(f^((n))(0))/(n!)$, sono tutti nulli.
Nota che non ho usato $f$ per denotare la somma della serie di McLaurin; ciò è dovuto al fatto che la serie di McLaurin relativa ad $f$ può non convergere ad $f$ (come mostra il classico esempio della funzione $f(x)=\{(e^(-1/x^2), " se " x>0),(0, " se "xle 0):}$, la cui serie di McLaurin converge alla funzione identicamente nulla in tutto $RR$).
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