Aiuto serie di funzioni

[Lokad]

Ciao ragazzi sono nuovo.
Ho un piccolo problema con le serie di funzioni, in pratica non riesco a capire come si procede quando non si tratta di serie di potenze. Lo scopo è quello di calcolare la somma e discutere la convergenza, ad esempio in questa:
$ 1/\pi^2 sum_{n=0}^\infty\x^2 e^(-n x/\pi) $

credo che non sia riconducibile ad una serie di potenze, tra l'altro non riesco a capire che criterio usare in questi casi, anche perchè una volta calcolato il raggio di convergenza penso che tutto viene da se. In ogni caso comunque mi bloccherei nel trovare la somma.
Ringrazio anticipatamente per le delucidazioni :wink: [/tex]

[gugo82]

Se ci fai caso, quel fattore [tex]$x^2$[/tex] è indipendente dall'indice di sommatoria, quindi puoi portarlo fuori dalla somma (un po' come si fa con le costanti sotto il segno d'integrale); la serie rimanente, che poi è quella su cui devi lavorare, si può ricondurre ad una serie di potenze: basta porre [tex]$y=e^{-\frac{x}{\pi}}$[/tex]...

Prova e facci sapere cosa viene fuori.

[Lokad]

grazie mille per l'aiuto gugo82

ho ricondotto la serie:
$ 1/\pi x^2 sum_{n=0}^\infty\1/y^n $

Sostituendo di fatto y a $e^(x/\pi) $
Il raggio di convergenza credo sia 1, quindi la serie converge puntalmente in -1, 1 e totalmente in ($-\rho $, $\rho$) con $\rho<1$ questo dalla teoria.
In pratica sostituendo prima 1 a y la serie credo tenda a + infinito mentre sostituendo -1 credo sia indeterminata.
Detto questo come faccio a tirar fuori a questo punto la convergenza totale e la somma?

[gugo82]

Sempre dalla teoria; infatti sai (o dovresti aver studiato) che una serie di potenze converge totalmente in ogni compatto contenuto nell'intervallo di convergenza...

***

Colgo l'occasione per un post elementare, ma pressoché definitivo, sull'argomento "serie riconducibili a serie di potenze", con la speranza che sia utile a tutti.
Come al solito ogni annotazione e correzione è bene accetta.

Supponiamo che una serie di funzioni si presenti nella forma:

(1) [tex]$\sum a_n f^n(x)$[/tex]

in cui [tex]$f$[/tex] è una funzione reale definita in un certo insieme [tex]$X\subseteq \mathbb{R}$[/tex] (ma ciò che stiamo per dire si adatta anche al caso [tex]$X\subseteq \mathbb{R}^N$[/tex]), cioè [tex]$f:X\to \mathbb{R}$[/tex].
La sostituzione [tex]$y=f(x)$[/tex] consente di ricondurre la (1) alla serie di potenze ausiliaria:

(2) [tex]$\sum a_ny^n$[/tex];

per non banalizzare le considerazioni che andiamo facendo, supponiamo che il raggio di convergenza [tex]$\rho$[/tex] della (2) sia positivo, ossia [tex]$\rho \in ]0,+\infty]$[/tex] (il valore [tex]$+\infty$[/tex] è ammesso), sicché la serie (2) converge sicuramente in [tex]$]-\rho ,\rho[$[/tex] ed, eventualmente, in qualcuno degli estremi [tex]$\pm \rho$[/tex] (bisogna sempre controllare).

a. Qual è l'insieme di convergenza di (1)?

L'insieme di convergenza [tex]$D$[/tex] della serie (1) si ottiene imponendo la condizione:

(*) [tex]$f(x) \text{ appartiene all'intervallo di convergenza di ({\bf 2})}$[/tex],

che è abbastanza naturale, visto che [tex]$y=f(x)$[/tex] ed [tex]$y$[/tex] ha da stare nell'intervallo di convergenza di (2).
In altri termini abbiamo:

[tex]$D:=\{ x\in X:\ f(x) \text{ appartiene all'intervallo di convergenza di ({\bf 2})} \}$[/tex].

Come ora illustriamo, la condizione (*) si traduce in un numero finito di disuguaglianze, cosicché il problema di determinare [tex]$D$[/tex] è quello della soluzione di un sistema di disequazioni.

Invero, se l'intervallo di convergenza di (2) è [tex]$]-\rho ,\rho[$[/tex], l'insieme [tex]$D$[/tex] si ottiene risolvendo in [tex]$X$[/tex] il sistema di disequazioni:

(S) [tex]$\begin{cases} f(x) <\rho \\ f(x)>-\rho \end{cases}$[/tex].

Invece, se la serie ausiliaria (2) converge in uno od entrambi gli estremi bisogna indebolire le disuguaglianze relative a tali estremi; ad esempio, se (2) converge in [tex]$\rho$[/tex] ma non in [tex]$\rho$[/tex] (sicché l'intervallo di convergenza è in realtà [tex]$]-\rho ,\rho]$[/tex]), il sistema (S) diventa:

[tex]$\begin{cases} f(x) \leq \rho \\ f(x)>-\rho \end{cases}$[/tex]

e così via negli altri possibili casi.

b. Che tipo di convergenza c'è da aspettarsi per la (1) nel suo insieme di convergenza [tex]$D$[/tex]?

Ovviamente in [tex]$D$[/tex] c'è convergenza puntuale (ça va sans dire), però si può dire molto di più se si ricorda il modo di convergenza della serie ausiliaria (2).

Invero, dalla teoria delle serie di potenze sappiamo che la (2) converge totalmente (e quindi anche assolutamente ed uniformemente) in ogni intervallo compatto [tex]$[a,b] \subseteq ]-\rho ,\rho[$[/tex]*; ne consegue che la serie (1) converge totalmente (e quindi etc...) in ogni sottoinsieme [tex]$E$[/tex] di [tex]$D$[/tex] tale che [tex]$f(E)$[/tex] sia un intervallo compatto contenuto in [tex]$]-\rho ,\rho[$[/tex].

Inoltre, se la serie ausiliaria (2) converge, ad esempio, in [tex]$\rho$[/tex] ma non in [tex]$-\rho$[/tex] (sicché l'intervallo di convergenza è [tex]$]-\rho ,\rho]$[/tex]), un notevole teorema di Abel garantisce che (2) è uniformemente convergente in ogni intevallo compatto [tex]$[a,b] \subseteq ]-\rho, \rho]$[/tex]**: in tal modo possiamo asserire che la (1) converge uniformemente anche in ogni sottoinsieme [tex]$E\subseteq D$[/tex] tale che [tex]$f(E)$[/tex] sia un intervallo compatto contenuto in [tex]$]-\rho ,\rho]$[/tex]... In maniera del tutto analoga si ragiona se la (2) converge solo in [tex]$-\rho$[/tex] oppure in entrambi [tex]$\pm \rho$[/tex].

Da quanto appena scritto si capisce che, in generale, il tipo di sottoinsiemi [tex]$E$[/tex] di [tex]$D$[/tex] in cui la (1) converge totalmente dipende in maniera decisiva dalle proprietà di [tex]$f$[/tex]: pertanto non si può fare un discorso di carattere più generale di questo catalogando tutte le tipologie possibili.
Tuttavia se [tex]$f$[/tex] è continua, i teoremi di Weierstrass e dei valori intermedi ci consentono di affermare che l'immagine di ogni intervallo compatto [tex]$[\alpha ,\beta]$[/tex] contenuto nell'interno di [tex]$D$[/tex] (se ne esistono...) è un intervallo compatto [tex]$[a,b]$[/tex] contenuto nell'intervallo di convergenza di (2): quindi se [tex]$f$[/tex] è continua e se l'insieme [tex]$D$[/tex] è "abbastanza largo", la serie (1) converge uniformemente almeno sugli intervalli compatti contenuti nell'interno di [tex]$D$[/tex].


__________
* Notiamo che qui [tex]$[a,b]$[/tex] deve avere gli estremi distanti da [tex]$\pm \rho$[/tex]; ad esempio, se [tex]$\rho =2$[/tex], possiamo prendere [tex]$[a,b]=[-1,1.99]$[/tex] ma non [tex]$[a,b]=[-1,2]$[/tex].

**A differenza del caso precedente, l'intervallo [tex]$[a,b]$[/tex], invece che rimanere ben distante da [tex]$\pm \rho$[/tex], può avere un estremo in comune con l'intervallo di convergenza; precisamente può avere in comune l'estremo [tex]$\rho$[/tex] in cui (2) converge: ad esempio, se [tex]$\rho =2$[/tex] e la (2) converge in [tex]$]-2,2]$[/tex], è lecito prendere l'intervallo [tex]$[a,b]=[-1,2]$[/tex], ma non [tex]$[a,b]=[-2,1]$[/tex].

c. Come si determina la somma di (1)?

Non sempre è possibile determinare un'espressione elementare per la somma [tex]$\Phi(x)$[/tex] di una serie del tipo (1): per ottenere la somma di (1) è necessario conoscere un'espressione per la somma della serie ausiliaria (2), sicché se la (2) non ha una somma dotata di espressione elementare non possiamo scrivere una formula esplicita nemmeno per la somma di (1).

Infatti, detta [tex]$\varphi (y)$[/tex] la somma di (2), ossia posto [tex]$\varphi (y):=\sum_{n=0}^{+\infty} a_n y^n$[/tex], facendo a ritroso la sostituzione [tex]$y=f(x)$[/tex] si ottiene:

[tex]$\varphi (f(x))=\sum_{n=0}^{+\infty} a_n f^n(x)$[/tex];

visto che la somma di una serie è unica (teorema di unicità del limite), dalla precedente e dalla definizione di [tex]$\Phi (x)$[/tex] si ottiene:

[tex]$\Phi (x)=\varphi (f(x))$[/tex].

In tal modo abbiamo dimostrato che in ogni caso la somma di (1) si ottiene dalla somma di (2) per sostituzione; ciò spiega perchè è possibile ottenere un'espressione elementare per la somma di (1) solo se è possibile conoscere un'espressione dello stesso genere per la somma di (2).

d. Come procedere nello studio di una serie del tipo (1)?

- La prima cosa da fare è individuare la funzione [tex]$f$[/tex] e determinarne l'insieme di definizione [tex]$X$[/tex].

- Fatto ciò, si deve individuare la serie di potenze ausiliaria (2), se ne determina il raggio di convergenza [tex]$\rho$[/tex] e si studia la convergenza di (2) negli estremi [tex]$\pm \rho$[/tex].

- Determinato l'insieme di convergenza di (2), si deve determinare [tex]$D$[/tex] imponendo la condizione (*), ossia risolvendo il sistema di disequazioni (S).

- Se l'insieme [tex]$D$[/tex] è non vuoto (o non ridotto ad un insieme discreto), si traccia un grafico di massima di [tex]$f$[/tex] e si individuano graficamente gli insiemi [tex]$E\subseteq D$[/tex] che corrispondono agli intervalli compatti sui quali la serie ausiliaria (2) converge uniformemente e/o totalmente: in tali insiemi la (1) risulterà convergere uniformemente e/o totalmente.

- Ove possibile, si determina la somma della (1): per fare ciò si deve determinare la somma di (2), cioè la funzione [tex]$\varphi (y):=\sum_{n=0}^{+\infty} a_n y^n$[/tex], e si deve sostituire a ritroso [tex]$y=f(x)$[/tex], ottenendo:

[tex]$\Phi (x):=\sum_{n=0}^{+\infty} a_n f^n(x) =\varphi (f(x))$[/tex].

e. Esempio pratico.

Studiamo la serie:

[tex]$\sum_{n\geq 1} \frac{n-1}{2\pi n} \ x^{3+2n} ( x^2-2)^n $[/tex].

- Visto che negli addendi ci sono fattori che non dipendono dall'indice di sommazione [tex]$n$[/tex], possiamo mettere in evidenza e portare fuori dal simboli di sommatoria, ottenendo:

[tex]$\frac{x^3}{2\pi} \sum_{n\geq 1} \frac{n-1}{n} \ \left[ x^2(x^2-2)\right]^n$[/tex];

possiamo considerare la sola serie [tex]$\sum_{n\geq 1} \frac{n-1}{n} [x^2(x^2-2)]^n$[/tex], dato che il fattore [tex]$\frac{x^3}{2\pi}$[/tex] non dà problemi (è definito in tutto [tex]$\mathbb{R}$[/tex] e non influenza la convergenza della serie -giacché sta fuori dal simbolo di somma-).

- La serie [tex]$\sum_{n\geq 1} \frac{n-1}{n} [x^2(x^2-2)]^n$[/tex] è nella forma [tex]$\sum a_n f^n(x)$[/tex], con [tex]$f(x):=x^2(x^2-2)$[/tex] definita in [tex]$X=\mathbb{R}$[/tex], perciò rientra tra le serie riconducibili a serie di potenze.

- La sostituzione [tex]$y=x^2(x^2-2)$[/tex] consente di ricondurre la serie [tex]$\sum_{n\geq 1} \frac{n-1}{n} [x^2(x^2-2)]^n$[/tex] alla serie di potenze ausiliaria:

[tex]$\sum_{n\geq 1} \frac{n-1}{n} y^n$[/tex];

tale serie ha raggio di convergenza [tex]$\rho =1$[/tex] e non converge in [tex]$\pm 1$[/tex] (non è verificata la condizione necessaria), cosicché il suo intervallo di convergenza è [tex]$]-1,1[$[/tex].

L'insieme di convergenza della serie [tex]$\sum_{n\geq 1} \frac{n-1}{n} [x^2(x^2-2)]^n$[/tex] si ottiene risolvendo il sistema:

[tex]$\begin{cases} x^2(x^2-2)<1 \\ x^2(x^2-2)>-1 \end{cases}$[/tex];

fatti i dovuti calcoli, ci accorgiamo che l'insieme [tex]$D$[/tex] è unione di tre intervalli aperti disgiunti, [tex]$D=]x_1 , -1 [ \cup ]-1, 1[ \cup ]1 ,x_2[$[/tex], con [tex]$x_1=-\sqrt{1+\sqrt{2}} \approx -1.55, x_2=\sqrt{1+\sqrt{2}} \approx 1.55$[/tex].

- Per quanto detto, la convergenza della serie [tex]$\sum_{n\geq 1} \frac{n-1}{n} [x^2(x^2-2)]^n$[/tex] è totale su ogni intervallo compatto contenuto in [tex]$D$[/tex]; ne consegue che la serie assegnata è anch'essa convergente totalmente sui compatti contenuti in [tex]$D$[/tex].

- Determiniamo, infine, la somma della serie assegnata.
Riscriviamo la serie ausiliaria come segue:

[tex]$\sum_{n\geq 1} \frac{n-1}{n}\ y^n =\sum_{n\geq 1} y^n -\sum_{n\geq 1} \frac{1}{n} \ y^n =\left( \sum_{n\geq 0} y^n-1 \right) -\sum_{n\geq 1} \frac{1}{n}\ y^n$[/tex];

ricordati la somma della serie geometrica e lo sviluppo di Taylor del logaritmo (i.e. [tex]$\ln (1-z)=-\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{z^n}{n}$[/tex]), dalla precedente ricaviamo:

[tex]$\varphi (y)=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n-1}{n} \ y^n =\sum_{n=0}^{+\infty} y^n -1-\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n}\ y^n=\frac{1}{1-y}-1+\ln(1-y)=\frac{y}{1-y} +\ln (1-y)$[/tex]

ed infine:

[tex]$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n-1}{n} [x^2(x^2-2)]^n =\Phi (x) =\varphi(f(x))= \frac{x^2(x^2-2)}{1-x^2(x^2-2)} +\ln [1-x^2(x^2-2)]$[/tex].

Ne consegue che:

[tex]$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n-1}{2\pi n} \ x^{3+2n} ( x^2-2)^n =\frac{x^3}{2\pi} \left\{ \frac{x^2(x^2-2)}{1-x^2(x^2-2)} +\ln [1-x^2(x^2-2)]\right\}$[/tex].

[Lokad]

tutto chiaro grazie mille

[melpycar]

scusa come fai ad ottenere il raggio di convergenza?

[gugo82]

Con uno dei tanti teoremi per la determinazione del raggio di convergenza applicato alla s.d.p. [tex]$\sum a_ny^n$[/tex].

Che so, col teorema di Cauchy-Hadamard ([tex]$\rho =\frac{1}{\limsup_n \sqrt[n]{|a_n|}}$[/tex]) oppure col criterio della radice ([tex]$\rho = \lim_n \frac{1}{\sqrt[n]{|a_n|}}$[/tex]) ovvero col criterio del rapporto ([tex]$\rho =\lim_n \frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}$[/tex])...

[Lokad]

Non trovo esercizi in cui la serie non può essere ricondotta ad una serie di potenze, qualche link o magari qualche esempio? Grazie

[gugo82]

Ho ritenuto opportuno raccogliere le informazioni contenute in questo post in un file pdf.

A chiunque volesse scaricarlo, dico che esso è disponibile qui.

*** EDIT: versione aggiornata al 7/6/2010 - Corretto refuso segnalato da Luc@s.