Aiuto serie di funzione
Ciao a tutti, sto cercando di capire quale sia l'insieme di convergenza della seguente serie di funzioni:
sommatoria per n da 1 a infinito di $ 1/(n^2+x^2) *ln(x/n) $
Mi viene anche chiesto di studiare la convergenza totale.
Ho tentato vari criteri e ragionamenti ma non mi é uscito nulla di buono.
Spero che qualcuno possa darmi una mano facendomi capire magari come imparare a muovermi con serie in generale.
Grazie a tutti.
sommatoria per n da 1 a infinito di $ 1/(n^2+x^2) *ln(x/n) $
Mi viene anche chiesto di studiare la convergenza totale.
Ho tentato vari criteri e ragionamenti ma non mi é uscito nulla di buono.
Spero che qualcuno possa darmi una mano facendomi capire magari come imparare a muovermi con serie in generale.
Grazie a tutti.
Risposte
Prova a dimostrare che la serie converge puntualmente su tutto $RR$.
Ho provato in vari modi, considerando la serie dei moduli per poter usare l'assoluta convergenza ma con nessun criterio ha funzionato. Sapresti propormi uno svolgimento per studiare l'insieme di convergenza e anche quella totale che mi viene richiesta.
Comunque, se non erro, la convergenza deve essere vista per i reali positivi visto che il dominio della serie è $ x > 0 $.
Comunque, se non erro, la convergenza deve essere vista per i reali positivi visto che il dominio della serie è $ x > 0 $.
Hai senz'altro ragione a dire che la serie va studiata per $x>0$, non me ne ero accorto nella risposta precedente, comunque hai che $AAx>0,ln(x/n)/(n^2+x^2)0$).
Prova tu a fare la convergenza totale, per lo meno imposta i conti.
Prova tu a fare la convergenza totale, per lo meno imposta i conti.
Fammi capire: se ho inteso bene quello che hai fatto, hai usato il metodo del confronto, ma se non sbaglio si può usare solo per serie a termini non negativi, mentre qui ciò accade solo per $ x > n $. Forse bisogna considerare la serie dei moduli, procedere con la tua maggiorazione con qualche modifica:
$ |ln(x/n)/(n^2+x^2)| <= |ln(x/n)/(n^2)| <= |(ln(x)-ln(n))/(n^2)| <= |ln(x)/(n^2)| + |ln(n)/(n^2)|<= |ln(x)|/(n^2) + ln(n)/(n^2) $
e queste ultime sono due serie che convergono per quanto dicevi anche tu.
Questo dovrebbe a questo punto garantire la convergenza totale per qualsiasi reale positivo, giusto?
$ |ln(x/n)/(n^2+x^2)| <= |ln(x/n)/(n^2)| <= |(ln(x)-ln(n))/(n^2)| <= |ln(x)/(n^2)| + |ln(n)/(n^2)|<= |ln(x)|/(n^2) + ln(n)/(n^2) $
e queste ultime sono due serie che convergono per quanto dicevi anche tu.
Questo dovrebbe a questo punto garantire la convergenza totale per qualsiasi reale positivo, giusto?
Come lo hai svolto tu va bene, ma in alternativa si può anche dire che, dato che $n>x$ definitivamente, la serie è definitivamente a segno costante e questo basta a poter applicare il criterio del confronto.
Comunque attenzione che con questo ha dimostrato la convergenza puntuale, non quella totale.
Comunque attenzione che con questo ha dimostrato la convergenza puntuale, non quella totale.
Ah giusto, e come faccio per la convergenza totale? Mi puoi far vedere, appena puoi, come fare?
Ah, se per favore riuscissi a farmi anche vedere perche la serie di termine generale $ ln(n)/n^2 $ converge mi faresti un piacere. Grazie mille.
"Albirz":
Ah, se per favore riuscissi a farmi anche vedere perche la serie di termine generale $ ln(n)/n^2 $ converge mi faresti un piacere. Grazie mille.
Perché il suo termine $n$-esimo va a $0$ più velocemente di $1/n^(3/2)$ (usa il confronto) la cui serie associata, come dovresti sapere, converge.
"Albirz":
Ah giusto, e come faccio per la convergenza totale?
Prendi un insieme $A\sub(0,+\infty)$ devi studiare il $\text{sup}_(x\inA)|f_n(x)|=\text{sup}_(x\inA)|1/(n^2+x^2) *ln(x/n)|<=\text{sup}_(x\inA)(|lnx|/n^2+lnn/n^2)=lnn/n^2+(\text{sup}_(x\inA)|lnx|)/n^2$, se $A$ è sottoinsieme di qualche intervallo del tipo $[1/t,t],t>1$, allora $\text{sup}_(x\inA)|f_n(x)|<=(lnn+lnt)/n^2$, che è il termine $n$-esimo di una serie convergente, quindi hai la convergenza totale su $A$.
Se $0$ è un punto di accumulazione di $A$, $AAn,\text{sup}_(x\inA)|f_n(x)|=+\infty$, quindi non c'è convergenza totale,
Prova tu a trovare il massimo di $f_n$ su $[1,+\infty)$ per capire cosa succede su domini illimitati.
Non potremmo dire più in generale che c'è convergenza totale in ogni intervallo del tipo $ [a,b], a > 0 $ (nei tuoi conti basterebbe sostituire b a t e la serie che maggiora il nostro sup sarebbe ancora convergente se non erro) ?
Per quanto riguarda i domini del tipo [a, +infinito], a > 0 , devo studiare sempre il solito sup di $ |f(x)| $ osservando che quando x tende a +infinito, $ |f(x)| $ tende a 0. Ho provato a studiare la derivata prima ma devo ammettere che mi viene qualcosa di improponibile, salvo qualche errore nei calcoli, ma non credo. C'è qualche trucchetto da usare che proponi?
Posso dire che esiste massimo perchè la funzione è continua (si è vero, l' intervallo non è chiuso e limitato, però, non so se posso fare questo passaggio, poichè a più infinito tende a 0, potrei pensare di "chiudere" l'intervallo per applicare Weierstrass)?
Per quanto riguarda i domini del tipo [a, +infinito], a > 0 , devo studiare sempre il solito sup di $ |f(x)| $ osservando che quando x tende a +infinito, $ |f(x)| $ tende a 0. Ho provato a studiare la derivata prima ma devo ammettere che mi viene qualcosa di improponibile, salvo qualche errore nei calcoli, ma non credo. C'è qualche trucchetto da usare che proponi?
Posso dire che esiste massimo perchè la funzione è continua (si è vero, l' intervallo non è chiuso e limitato, però, non so se posso fare questo passaggio, poichè a più infinito tende a 0, potrei pensare di "chiudere" l'intervallo per applicare Weierstrass)?
"Albirz":
Non potremmo dire più in generale che c'è convergenza totale in ogni intervallo del tipo $ [a,b], a > 0 $ (nei tuoi conti basterebbe sostituire b a t e la serie che maggiora il nostro sup sarebbe ancora convergente se non erro) ?
Si.
Per quanto riguarda i domini del tipo [a, +infinito], a > 0 , devo studiare sempre il solito sup di $ |f(x)| $ osservando che quando x tende a +infinito, $ |f(x)| $ tende a 0. Ho provato a studiare la derivata prima ma devo ammettere che mi viene qualcosa di improponibile, salvo qualche errore nei calcoli, ma non credo. C'è qualche trucchetto da usare che proponi?
Ora ci penso.
Posso dire che esiste massimo perchè la funzione è continua (si è vero, l' intervallo non è chiuso e limitato, però, non so se posso fare questo passaggio, poichè a più infinito tende a 0, potrei pensare di "chiudere" l'intervallo per applicare Weierstrass)?
Questo lo puoi dire, perché come pensavi potresti "prolungare per continuità all'infinito" la funzione facendola valere $0$, e avresti una funzione con il massimo, che in linea di principio potrebbe essere $0$, ma è facile verificare che la funzione assume valori positivi, quindi sicuramente ha massimo.
Beh se c'è massimo non potremmo concludere? Se fissiamo un intervallo del tipo [a, +infinito] con a > 0, esiste un punto di massimo c in tale intervallo e quindi:
$ |1/(n^2+x^2)*ln(x/n)| <= 1/(n^2+x^2)*ln(c/n) forall n $ e la serie a secondo membro converge da cui la convergenza totale anche in questo genere di intervalli. Ho sbagliato? Se si, ed è' l' ultima cosa che ti chiedo, cosa posso dire sulla convergenza totale in questi intervalli?
$ |1/(n^2+x^2)*ln(x/n)| <= 1/(n^2+x^2)*ln(c/n) forall n $ e la serie a secondo membro converge da cui la convergenza totale anche in questo genere di intervalli. Ho sbagliato? Se si, ed è' l' ultima cosa che ti chiedo, cosa posso dire sulla convergenza totale in questi intervalli?
La costante non è necessariamente indipendente da $n$, sai solo che è indipendente da $x$, quindi potrebbe essere qualcosa come $c_n=n^2$, cosicché la serie non convergerebbe.
Come consigli di proseguire quindi?
Non so come fare perché in effetti la derivata viene molto brutta...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo