Aiuto serie con parametro

[fifty_50]

Salve a tutti,
Devo studiare la convergenza della seguente serie al variare del parametro $alpha$
$ sum_(n= 1)^(infty) (root(n)(n) -1) ^alpha $
Ho pensato di utilizzare il criterio del confronto asintotico ma in nessun modo riesco a ricondurmi ad una delle serie notevoli per poter poi discutere $alpha$
Qualcuno potrebbe darmi una mano?

[Berationalgetreal]

\[ \left ( n^{\frac{1}{n}} -1 \right )^{\alpha} = \left ( e^{\frac{ \ln n}{n}} -1 \right )^{\alpha} \sim \left ( \frac{\ln n}{n} \right )^{\alpha}, \ n \to + \infty \]

Adesso puoi seguire più strade. La più semplice è il criterio di condensazione di Cauchy.

[fifty_50]

Grazie mille, anch'io avevo utilizzato l'identitá esponenziale logaritmo quando sono andata a calcolare il limite per verificare la condizione necessaria di convergenza, ma non mi era saltata all'occhio questa "equivalenza".
Nel modo in cui lo hai scritto tu è molto più chiaro e immediato, ti ringrazio infinitamente!