Aiuto Serie
Salve,
ho cercato di studiare questa serie:
$\sum_{n=1}^{+\infty} (\frac{n-4}{2n+1})^{n+1}$
ho provato ad operare nel modo seguente ma non riesco ad arrivare a nessua conclusione:
$\sum_{n=1}^{+\infty} (\frac{n-4}{2n+1})^{n+1}=\sum (\frac{n-4}{2n+1})(\frac{n-4}{2n+1})^n$
ora, per il criterio della radice ennesima $\sum (\frac{n-4}{2n+1})^n$ è convergente perchè [tex]\sqrt[n] {(\frac{n-4}{2n+1})^n}=1/2<1[/tex]
mi domando...cosa posso dire allora sulla serie originaria?
ho cercato di studiare questa serie:
$\sum_{n=1}^{+\infty} (\frac{n-4}{2n+1})^{n+1}$
ho provato ad operare nel modo seguente ma non riesco ad arrivare a nessua conclusione:
$\sum_{n=1}^{+\infty} (\frac{n-4}{2n+1})^{n+1}=\sum (\frac{n-4}{2n+1})(\frac{n-4}{2n+1})^n$
ora, per il criterio della radice ennesima $\sum (\frac{n-4}{2n+1})^n$ è convergente perchè [tex]\sqrt[n] {(\frac{n-4}{2n+1})^n}=1/2<1[/tex]
mi domando...cosa posso dire allora sulla serie originaria?
Risposte
Non ho provato a fare i conti, però mi verrebbe da consigliarti di provare ad utilizzare il criterio della radice ennesima al termine generale della serie, senza operare il primo passaggio algebrico che hai riportato.
Ah, ho capito...cioè trovare
$\lim (\frac{n-4}{2n+1})^{\frac{n+1}{n}}=\lim (\frac{1-\frac{4}{n}}{2+\frac{1}{n}})^{1+\frac{1}{n}}=1/2<1$
è un pò come fare la radice "n+1-esima"
$\lim (\frac{n-4}{2n+1})^{\frac{n+1}{n}}=\lim (\frac{1-\frac{4}{n}}{2+\frac{1}{n}})^{1+\frac{1}{n}}=1/2<1$
è un pò come fare la radice "n+1-esima"
Altri problemi li ho avuti con quest'altra serie:
$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\ln (e^{n^2}+1)}$
Io ho pensato di studiarla così, ma sinceramente non so se è giusto
Allora....
$\frac{1}{\ln (e^{n^2}+1)}<\frac{1}{e^{n^2}+1}<1/e^{n^2}=(1/e^2)^n$ in cui la serie $\sum_{n=1}^{+\infty}(1/e^2)^n$ è una serie geometrica di ragione $r=1/e^2<1$ ed è quindi convergente. Allora la serie data è convergente. Che ne dite?
$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\ln (e^{n^2}+1)}$
Io ho pensato di studiarla così, ma sinceramente non so se è giusto
Allora....
$\frac{1}{\ln (e^{n^2}+1)}<\frac{1}{e^{n^2}+1}<1/e^{n^2}=(1/e^2)^n$ in cui la serie $\sum_{n=1}^{+\infty}(1/e^2)^n$ è una serie geometrica di ragione $r=1/e^2<1$ ed è quindi convergente. Allora la serie data è convergente. Che ne dite?
$\frac{1}{log(e^{n^2}+1)}<\frac{1}{e^{n^2}+1}$
Da dove è uscita questa disuguaglianza? Infatti, è falsa. Prendi $n=1$.
Da dove è uscita questa disuguaglianza? Infatti, è falsa. Prendi $n=1$.
Attento, non va bene la maggiorazione che hai utilizzato. Nota infatti che:
$\log(1+e^(n^2))<= e^(n^2)\,\AAn\in \mathbb{N}$.
Pssando ai reciproci:
$1/(e^(n^2))<= 1/(\log(1+e^(n^2)))$, inoltre, poichè $e^(n^2)
$1/(e^(n^2)+1)< 1/(e^(n^2))<=1/(\log(1+e^(n^2)))$.
Un modo per procedere potrebbe essere:
$log(1+e^(n^2))= log(e^(n^2)(1+1/(e^(n^2))))= log(e^(n^2))+ log(1+1/(e^(n^2)))= n^2+ log(1+1/(e^(n^2)))>=n^2$. Ora passa ai reciproci e usa il criterio del confronto
[Edit]: Non ho visto il commento di dissonance, ci ho messo un po' per scrivere questa risposta
$\log(1+e^(n^2))<= e^(n^2)\,\AAn\in \mathbb{N}$.
Pssando ai reciproci:
$1/(e^(n^2))<= 1/(\log(1+e^(n^2)))$, inoltre, poichè $e^(n^2)
$1/(e^(n^2)+1)< 1/(e^(n^2))<=1/(\log(1+e^(n^2)))$.
Un modo per procedere potrebbe essere:
$log(1+e^(n^2))= log(e^(n^2)(1+1/(e^(n^2))))= log(e^(n^2))+ log(1+1/(e^(n^2)))= n^2+ log(1+1/(e^(n^2)))>=n^2$. Ora passa ai reciproci e usa il criterio del confronto
[Edit]: Non ho visto il commento di dissonance, ci ho messo un po' per scrivere questa risposta
Si, ora è tutto chiaro. Mi ero confuso con le disuguaglianze ai reciproci. Grazie 1000 ad entrambi.
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