Aiuto Serie
Salve avrei bisogno di un aiutino per capire il ragionamento su una serie.
La serie è sqrt(n) * log(cos 1/n). Con n che va da 1 a + infinito.
Quindi una serie con Radice quadrata di n che si moltiplica ad un logaritmo con argomento coseno di 1/n.
Posto 2 ragionamenti che ho fatto:
1) Ho fatto prima il limite. La radice di n la voglio vedere come n^1/2. Dico che il logaritmo va come il cos 1/n(faccio approssimazione), quindi dico che il cos 1/n va come 1/n(altra approssimazione). Facendo in modo che ho n^1/2 fratto n. Quindi semplifico ed ottengo 1/n^1/2. Che tende a zero e poi applicando il criterio del confronto..dico che la serie iniziale va come la serie 1/n^1/2. Che è una serie armonica divegente.
2)Radice di n rimane uguale. Al logaritmo applico la formula di Taylor(Log(1+x). Quindi riscrivo il logaritmo come Log (1+(cos 1/n -1)). Approssimo il tutto come cos (1/n -1). Quindi ho radice di n * cos (1/n -1). Adesso mi sembra una forma indeterminata. Però mi è stato detto che fa - infinito, quindi una serie che diverge.
La serie è sqrt(n) * log(cos 1/n). Con n che va da 1 a + infinito.
Quindi una serie con Radice quadrata di n che si moltiplica ad un logaritmo con argomento coseno di 1/n.
Posto 2 ragionamenti che ho fatto:
1) Ho fatto prima il limite. La radice di n la voglio vedere come n^1/2. Dico che il logaritmo va come il cos 1/n(faccio approssimazione), quindi dico che il cos 1/n va come 1/n(altra approssimazione). Facendo in modo che ho n^1/2 fratto n. Quindi semplifico ed ottengo 1/n^1/2. Che tende a zero e poi applicando il criterio del confronto..dico che la serie iniziale va come la serie 1/n^1/2. Che è una serie armonica divegente.
2)Radice di n rimane uguale. Al logaritmo applico la formula di Taylor(Log(1+x). Quindi riscrivo il logaritmo come Log (1+(cos 1/n -1)). Approssimo il tutto come cos (1/n -1). Quindi ho radice di n * cos (1/n -1). Adesso mi sembra una forma indeterminata. Però mi è stato detto che fa - infinito, quindi una serie che diverge.
Risposte
Intanto la serie è:
$\sum sqrt(n)*log(cos(1/n)) \quad$.
Noto che la tua 1) è sbagliata: non è affatto vero che $log(cos(1/n))$ è infinitesimo come $cos(1/n)$, perchè difatti $cos(1/n)$ non è infinitesimo.
Per uno dei limiti notevoli, $log(cos(1/n))$ è infinitesimo come $cos(1/n)-1$ (come giustamente dici nella tua 2)): in particolare, visto che $|log(cos(1/n))|/(1-cos(1/n))\to 1$ risulta definitivamente $|log(cos(1/n))|<2*(1-cos(1/n))$.
Inoltre, nota che $1-cosx<=x^2$ per ogni $x>=0$, cosicché $(1-cos(x/n))<=1/n^2$ per ogni $n$.
Passiamo all'analisi dei tuoi addendi: hai:
$|sqrt(n)*log(cos(1/n))|<=sqrt(n)*2(1-cos(1/n))<=2*sqrt(n)*1/n^2=2*1/n^(3/2)$
cosicché la tua serie è maggiorata in modulo da una serie armonica generalizzata convergente.
Pertanto la $\sum sqrt(n)*log(cos(1/n))$ è assolutamente convergente e quindi convergente.
$\sum sqrt(n)*log(cos(1/n)) \quad$.
Noto che la tua 1) è sbagliata: non è affatto vero che $log(cos(1/n))$ è infinitesimo come $cos(1/n)$, perchè difatti $cos(1/n)$ non è infinitesimo.
Per uno dei limiti notevoli, $log(cos(1/n))$ è infinitesimo come $cos(1/n)-1$ (come giustamente dici nella tua 2)): in particolare, visto che $|log(cos(1/n))|/(1-cos(1/n))\to 1$ risulta definitivamente $|log(cos(1/n))|<2*(1-cos(1/n))$.
Inoltre, nota che $1-cosx<=x^2$ per ogni $x>=0$, cosicché $(1-cos(x/n))<=1/n^2$ per ogni $n$.
Passiamo all'analisi dei tuoi addendi: hai:
$|sqrt(n)*log(cos(1/n))|<=sqrt(n)*2(1-cos(1/n))<=2*sqrt(n)*1/n^2=2*1/n^(3/2)$
cosicché la tua serie è maggiorata in modulo da una serie armonica generalizzata convergente.
Pertanto la $\sum sqrt(n)*log(cos(1/n))$ è assolutamente convergente e quindi convergente.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo