Aiuto serie

[hakzc]

Non riesco a risolvere queste due serie, vi prego aiutatemi

La prima è da risolvere con il teorema del confronto
Prima serie
$\sum_{n=1}^\infty\frac{sen(1/n)}{n+sqrt(n)}$

Seconda serie
$\sum_{n=1}^\infty\frac{(n^3+2n^2)}{(2n^3+3)}$

[feddy]

Ciao, nella prima suppongo che al numeratore si abbia $sen(1/n)$. Credo che la richiesta sia quella di determinare la convergenza o meno della serie...

Detto questo, per applicare il thm del confronto la serie deve essere a termini positivi, cosa che è vera. Ora si tratta di maggiorarla: sfrutta la presenza del seno al numeratore.

La seconda invece si vede che diverge...

[hakzc]

Appunto non riesco a trovare una serie da confrontare, potete aiutarmi?

[angelox9]

Se non ricordo male, sin(t) con t->0 è asintotico a t.
Quindi:

\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac{sin(\frac{1}{n})}{n+\sqrt{n}} \cong
\sum_{n=1}^\infty\frac{\frac{1}{n}}{n+\sqrt{n}} \)

Questa serie è convergente, stesso carattere della serie:
\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2} \)

Non vorrei sbagliare.

[pilloeffe]

Ciao eulero12,

Si ha:

$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\sin(1/n)}{n+sqrt(n)} \le \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1/n}{n+sqrt(n)} = \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n(n+sqrt(n))} \le \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n(sqrt(n)+sqrt(n))} = frac{1}{2} \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^{3/2}}$

E l'ultima scritta è la serie armonica generalizzata con $\alpha = frac{3}{2} > 1$ che è convergente.