Aiuto serie
Ciao ragazzi, ho un problema con questa serie.
Vi spiego, sono abituato, assegnatomi una serie, a vedere se vale la condizione necessaria, e successivamente a discuterne la convergenza o la divergenza con i metodi del confronto, del rapporto, o della radice.
Purtroppo però ho difficoltà ad impostare lo svolgimento di questa serie.
Non riesco a capire, ad occhio, quale metodo adoperare, o quale stima asintotica fare.
Qualcuno mi da una mano?
$ sum_(n = 0) 2^n * (n/(n+1))^(n^2) $
Vi spiego, sono abituato, assegnatomi una serie, a vedere se vale la condizione necessaria, e successivamente a discuterne la convergenza o la divergenza con i metodi del confronto, del rapporto, o della radice.
Purtroppo però ho difficoltà ad impostare lo svolgimento di questa serie.
Non riesco a capire, ad occhio, quale metodo adoperare, o quale stima asintotica fare.
Qualcuno mi da una mano?
$ sum_(n = 0) 2^n * (n/(n+1))^(n^2) $
Risposte
tanto per cominciare secondo te la successione è infinitesima ?
"Bossmer":
tanto per cominciare secondo te la successione è infinitesima ?
Si lo è
"Bossmer":
tanto per cominciare secondo te la successione è infinitesima ?
Si lo è
Ne sei proprio sicuro ?
"Bossmer":
Ne sei proprio sicuro ?
Io si, tu hai qualche dubbio a riguardo?
Qualche dubbio?
la successione tende evidentemente a più infinito, è asintotica a $2^n e^n$ che tende evidentemente a più infinito.
Perché credi sia infinitesima?
la successione tende evidentemente a più infinito, è asintotica a $2^n e^n$ che tende evidentemente a più infinito.
Perché credi sia infinitesima?
"Bossmer":
Perché credi sia infinitesima?
Perché per n->oo mi viene 0.
Ho controllato anche con Wolfram e mi conferma questa cosa.
Il discorso è che ai fini del compito la prof non vuole stime asintotiche.
ma come fa a venire zero?
scusa hai $2^n$ che per $n\to +\infty$ tende all'infinito, moltiplicato per una cosa che puoi riscrivere come:
$$
\left((1+\frac 1 n )^n\right)^n
$$
dove $\lim_{n\to \+infty}(1+\frac 1 n )^n=e$ quindi hai che
$$
\lim_{n\to +\infty}2^n(\frac {n+1}n )^{n^2}=\lim_{n\to +\infty}2^n e^n=+\infty
$$
scusa hai $2^n$ che per $n\to +\infty$ tende all'infinito, moltiplicato per una cosa che puoi riscrivere come:
$$
\left((1+\frac 1 n )^n\right)^n
$$
dove $\lim_{n\to \+infty}(1+\frac 1 n )^n=e$ quindi hai che
$$
\lim_{n\to +\infty}2^n(\frac {n+1}n )^{n^2}=\lim_{n\to +\infty}2^n e^n=+\infty
$$
@Bossmer: occhio che il termine generale è \[ 2^n \left( \frac{n}{n+1} \right)^{n^2} = 2^n \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right)^{n^2} \]e non \[ 2^n \left( \frac{n+1}{n} \right)^{n^2} = 2^n \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n^2}. \]E nella fattispecie \[\lim_n \left(1 - \frac{1}{n+1} \right)^n = \frac{1}{e}. \]
Ha ragione mk, è infinitesima.
Detto ciò - e mi riferisco all'OP -, comincia a pensare a qualche criterio noto che ti permetta di "abbattere" quegli esponenti...
@Delirium
Oddio! 
Chiedo venia
, mi sa che devo iniziare a mettere gli occhiali!!
Chiedo venia
, mi sa che devo iniziare a mettere gli occhiali!!
@anto_zoolander:
Credo che il confronto con una successione asintotica sia la cosa più rapida.
Prova a vederla dal limite per verificare che la serie sia infinitesima.
Prova a vederla dal limite per verificare che la serie sia infinitesima.
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