Aiuto risoluzione serie
Buongiorno ragazzi,
sono nuovo. Evito lunghe presentazioni, che forse non dovrei fare neanche qui. Mi chiamo Mattia, studio Ingegneria, ma talvolta mi inceppo su degli esercizi. Devo preparare Analisi I, quindi ogni tanto cercherò aiuto in voi
Ciò detto, vi propongo la serie uscita all'ultimo appello, di cui se ne chiede lo studio della convergenza semplice ed assoluta:
$\sum_{k=1}^(+oo) (-1)^k1/sqrt(n^3)lnroot(n)(n^3+1)$
Ora, quello che ho fatto è:
1) per la semplice ho provato a dimostrare la convergenza (o meno) usando il criterio di Leibnitz (se la successione è monotona decrescente, e all'infinito tende a 0, allora converge);
2) per l'assoluta, ho studiato la serie col valore assoluto, non considerando quindi il $-1^k$.
Ora, ho detto che il limite della successione tende a zero, perchè il denominatore $1/sqrt(n^3)$ è di ordine maggiore del numeratore, in quanto la funzione $ln$ è un infinito arbitrariamente piccolo in $+oo$.
Quindi la serie può convergere in entrambi i casi.
Per la convergenza assoluta, ho adoperato il criterio sull'ordine di infinitesimo, facendo queste trasformazioni:
$1/sqrt(n^3)lnroot(n)(n^3+1) = 1/sqrt(n^5)ln(n^3+1)$ per le proprietà dei logaritmi.
Dunque ho un inf.mo di ordine $5/2 > 1 $ moltiplicato per un inf.to di ordine a.p.. Ho preso in considerazione il fatto che un inf.mo di ordine a = infinito di ordine -a.
Dunque ho, in totale, un inf.mo di ordine $5/2 -a, a>0$. Dunque ord$(1/sqrt(n^5)ln(n^3+1)) >1$, quindi la serie converge assolutamente.
Per quanto riguarda la convergenza semplice, l'unico strumento che ho è Leibnitz. Ma per dimostrare la costante monotonia decrescente, dovrei calcolare la derivata prima, e verificare che sia sempre $<0$, giusto?
Mi potreste correggere? A me sembra filare il ragionamento (com'è ovvio che sia
). Sono abbastanza confuso, ma voglio assolutamente correggermi, dato che la quasi totalità degli scritti hanno una serie alternante che si risolve con l'ordine di inf.mo.
Per favore aiutatemi ragazzi
sono nuovo. Evito lunghe presentazioni, che forse non dovrei fare neanche qui. Mi chiamo Mattia, studio Ingegneria, ma talvolta mi inceppo su degli esercizi. Devo preparare Analisi I, quindi ogni tanto cercherò aiuto in voi
Ciò detto, vi propongo la serie uscita all'ultimo appello, di cui se ne chiede lo studio della convergenza semplice ed assoluta:
$\sum_{k=1}^(+oo) (-1)^k1/sqrt(n^3)lnroot(n)(n^3+1)$
Ora, quello che ho fatto è:
1) per la semplice ho provato a dimostrare la convergenza (o meno) usando il criterio di Leibnitz (se la successione è monotona decrescente, e all'infinito tende a 0, allora converge);
2) per l'assoluta, ho studiato la serie col valore assoluto, non considerando quindi il $-1^k$.
Ora, ho detto che il limite della successione tende a zero, perchè il denominatore $1/sqrt(n^3)$ è di ordine maggiore del numeratore, in quanto la funzione $ln$ è un infinito arbitrariamente piccolo in $+oo$.
Quindi la serie può convergere in entrambi i casi.
Per la convergenza assoluta, ho adoperato il criterio sull'ordine di infinitesimo, facendo queste trasformazioni:
$1/sqrt(n^3)lnroot(n)(n^3+1) = 1/sqrt(n^5)ln(n^3+1)$ per le proprietà dei logaritmi.
Dunque ho un inf.mo di ordine $5/2 > 1 $ moltiplicato per un inf.to di ordine a.p.. Ho preso in considerazione il fatto che un inf.mo di ordine a = infinito di ordine -a.
Dunque ho, in totale, un inf.mo di ordine $5/2 -a, a>0$. Dunque ord$(1/sqrt(n^5)ln(n^3+1)) >1$, quindi la serie converge assolutamente.
Per quanto riguarda la convergenza semplice, l'unico strumento che ho è Leibnitz. Ma per dimostrare la costante monotonia decrescente, dovrei calcolare la derivata prima, e verificare che sia sempre $<0$, giusto?
Mi potreste correggere? A me sembra filare il ragionamento (com'è ovvio che sia
). Sono abbastanza confuso, ma voglio assolutamente correggermi, dato che la quasi totalità degli scritti hanno una serie alternante che si risolve con l'ordine di inf.mo.Per favore aiutatemi ragazzi
Risposte
"thinking of you":
[...] quindi la serie converge assolutamente.
"thinking of you":
Per quanto riguarda la convergenza semplice, l'unico strumento che ho è Leibnitz.
Beh, a quanto pare direi di no
Per le serie alternanti, l'unico criterio fornitomi è Leibnitz. Per l'ass. conv., ho la proprietà che se una serie conv ass, conv anche semplicemente, e il criterio sull'ordine di inf.mo
Vorrei capire perchè pecca il mio ragionamento
Vorrei capire perchè pecca il mio ragionamento
Ciao. Il tuo ragionamento è corretto. Soltanto che se prima verifichi, come hai fatto, l'assoluta convergenza, allora automaticamente sai che è anche semplicemente convergente, senza bisogno di applicare il metodo di Leibnitz o altro.
Esattamente... in generale, quando hai una serie del tipo $\sum(-1)^na^n$ con $a_n >= 0$, prima di provare Leibniz controlla se non riesci a dimostrare l'assoluta convergenza della serie, ovvero la convergenza di $\suma^n$; in caso positivo, poichè la serie converge assolutamente allora converge.
Purtroppo però il viceversa è falso, se hai che $\suma^n$ diverge non è detto che $\sum(-1)^na^n$ non converga, come chiaro esempio hai $\sum(-1)^n/n$... però sicuramente è conveniente provare a studiarsi prima la convergenza assoluta che quasi sempre risulta più semplice di Leibniz
Purtroppo però il viceversa è falso, se hai che $\suma^n$ diverge non è detto che $\sum(-1)^na^n$ non converga, come chiaro esempio hai $\sum(-1)^n/n$... però sicuramente è conveniente provare a studiarsi prima la convergenza assoluta che quasi sempre risulta più semplice di Leibniz
Sì sì ci sono ragazzi, solo che partivo dal presupposto che divergeva.
L'importante è che mi confermiate che è corretto. Grazie
L'importante è che mi confermiate che è corretto. Grazie
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