Aiuto risoluzione integrale esponenziale
Dovrei diagrammare una funzione che contiene questo integrale:
[tex]\int_{t}^{\infty} e^{-({u \over a})^b}\, du[/tex]
Sono un po' arruginito con l'Analisi matematica, potreste darmi una mano? Non so da dove cominciare! Magari se non vi va di scrivere tutti i passaggi, mi accontento anche della soluzione oppure anche di un “aiuto” per aprire l'impolveratissimo libro di analisi alla pagina giusta
Saluti a tutti!
[tex]\int_{t}^{\infty} e^{-({u \over a})^b}\, du[/tex]
Sono un po' arruginito con l'Analisi matematica, potreste darmi una mano? Non so da dove cominciare! Magari se non vi va di scrivere tutti i passaggi, mi accontento anche della soluzione oppure anche di un “aiuto” per aprire l'impolveratissimo libro di analisi alla pagina giusta
Saluti a tutti!
Risposte
Integrali impropri e funzioni integrali.
Penso proprio che $a>0$, se è così finchè anche $b>0$ la funzione $F(t)$ che hai scritto dovrebbe avere un asintoto orizzontale a destra, perchè l'integranda tende a $0$ abbastanza rapidamente, e quindi l'integrale improprio di $f(u)$ su $[c,+oo]$ con $c>0$ sarebbe convergente.
Tutte cose che trovi scritte sull'impolveratissimo libro di analisi!
Penso proprio che $a>0$, se è così finchè anche $b>0$ la funzione $F(t)$ che hai scritto dovrebbe avere un asintoto orizzontale a destra, perchè l'integranda tende a $0$ abbastanza rapidamente, e quindi l'integrale improprio di $f(u)$ su $[c,+oo]$ con $c>0$ sarebbe convergente.
Tutte cose che trovi scritte sull'impolveratissimo libro di analisi!
Ovviamente l'integrale non è risolvibile "a mano".
Però si può addomesticare il tutto usando una funzione speciale, ossia la funzione gamma incompleta: tale funzione è definita ponendo:
[tex]$\Gamma (x,z):=\int_z^{+\infty} \tau^{x -1} e^{-\tau}\ \text{d} \tau$[/tex]
per [tex]$x>0$[/tex] e [tex]$z\in \mathbb{R}$[/tex] e si vede subito che è una generalizzazione della classica funzione [tex]$\Gamma (x)$[/tex] di Eulero, poiché [tex]$\Gamma (x)=\Gamma (x,0)$[/tex].
Infatti, facendo in [tex]\int_t^{+\infty} \exp \left( -(\frac{u}{a})^b\right) \ \text{d} u[/tex] la sostituzione [tex]\tau=(\frac{u}{a})^b[/tex] si trova immediatamente che:
[tex]$\int_t^{+\infty} \exp \left( -(\tfrac{u}{a})^b\right)\ \text{d} u = \tfrac{a}{b} \int_{(\tfrac{t}{a})^b}^{+\infty} \tau^{\frac{1}{b} -1} e^{-\tau}\ \text{d} \tau =\Gamma (\tfrac{1}{b}, (\tfrac{t}{a})^b)$[/tex].
Quindi se vuoi disegnare un grafico di quella funzione lì con un software numerico, ti basta usare la funzione gamma incompleta ed assegnare un valore ad almeno uno dei parametri [tex]$a,b,t$[/tex].
Però si può addomesticare il tutto usando una funzione speciale, ossia la funzione gamma incompleta: tale funzione è definita ponendo:
[tex]$\Gamma (x,z):=\int_z^{+\infty} \tau^{x -1} e^{-\tau}\ \text{d} \tau$[/tex]
per [tex]$x>0$[/tex] e [tex]$z\in \mathbb{R}$[/tex] e si vede subito che è una generalizzazione della classica funzione [tex]$\Gamma (x)$[/tex] di Eulero, poiché [tex]$\Gamma (x)=\Gamma (x,0)$[/tex].
Infatti, facendo in [tex]\int_t^{+\infty} \exp \left( -(\frac{u}{a})^b\right) \ \text{d} u[/tex] la sostituzione [tex]\tau=(\frac{u}{a})^b[/tex] si trova immediatamente che:
[tex]$\int_t^{+\infty} \exp \left( -(\tfrac{u}{a})^b\right)\ \text{d} u = \tfrac{a}{b} \int_{(\tfrac{t}{a})^b}^{+\infty} \tau^{\frac{1}{b} -1} e^{-\tau}\ \text{d} \tau =\Gamma (\tfrac{1}{b}, (\tfrac{t}{a})^b)$[/tex].
Quindi se vuoi disegnare un grafico di quella funzione lì con un software numerico, ti basta usare la funzione gamma incompleta ed assegnare un valore ad almeno uno dei parametri [tex]$a,b,t$[/tex].
Grazie mille a Giuly19 per il suggerimento e a gugo82 per la chiarissima spiegazione.
Siccome il software che utilizzo per plottare i grafici non dispone della Gamma incompleta (ma solo la Gamma “classica”), vorrei sapere: è possibile esprimere il tutto in termini dell'integrale esponenziale $E_n(x)$?
Siccome il software che utilizzo per plottare i grafici non dispone della Gamma incompleta (ma solo la Gamma “classica”), vorrei sapere: è possibile esprimere il tutto in termini dell'integrale esponenziale $E_n(x)$?
Se non ricordo male, l'integrale esponenziale generalizzato [tex]$\text{E}_p (z)$[/tex] è definito come:
[tex]$\text{E}_p(z) := z^{p-1}\ \Gamma (1-p,z)$[/tex]
(DLMF, §8.1) ed è una funzione a valori complessi.
Conseguentemente, per dare di [tex]$\Gamma (\tfrac{1}{b}, (\tfrac{t}{a})^b)$[/tex] una rappresentazione in termini dell'integrale esponenziale generalizzato c'è necessariamente bisogno di determinare un numero complesso [tex]$p$[/tex] tale che [tex]$1-p=\tfrac{1}{b}$[/tex]; ciò accade solo se si sceglie [tex]$p=1-\tfrac{1}{b}$[/tex]: in tal caso, si ha:
[tex]$\Gamma \left( \tfrac{1}{b}, (\tfrac{t}{a})^b\right) = z^{\frac{1}{b}}\ \text{E}_{1-\tfrac{1}{b}} \left( (\tfrac{t}{a})^b \right)$[/tex].
Se hai a disposizione solo le funzioni [tex]$\text{E}_n(z)$[/tex] per [tex]$n\in \mathbb{N}$[/tex], ovviamente la rappresentazione precedente non aiuta (infatti se [tex]$b>0$[/tex] il numero [tex]1-\frac{1}{b}[/tex] non è un naturale!); se invece hai a disposizione anche le [tex]$\text{E}_n(z)$[/tex] per [tex]$n\in \mathbb{Z}$[/tex] con [tex]$n<0$[/tex], allora la rappresentazione precedente aiuta solo se [tex]$b$[/tex] è l'opposto del reciproco di un nemero naturale, ossia del tipo [tex]b=-\frac{1}{\nu -1}[/tex] per [tex]$\nu \in \mathbb{N}$[/tex] con [tex]$\nu \geq 2$[/tex].
[tex]$\text{E}_p(z) := z^{p-1}\ \Gamma (1-p,z)$[/tex]
(DLMF, §8.1) ed è una funzione a valori complessi.
Conseguentemente, per dare di [tex]$\Gamma (\tfrac{1}{b}, (\tfrac{t}{a})^b)$[/tex] una rappresentazione in termini dell'integrale esponenziale generalizzato c'è necessariamente bisogno di determinare un numero complesso [tex]$p$[/tex] tale che [tex]$1-p=\tfrac{1}{b}$[/tex]; ciò accade solo se si sceglie [tex]$p=1-\tfrac{1}{b}$[/tex]: in tal caso, si ha:
[tex]$\Gamma \left( \tfrac{1}{b}, (\tfrac{t}{a})^b\right) = z^{\frac{1}{b}}\ \text{E}_{1-\tfrac{1}{b}} \left( (\tfrac{t}{a})^b \right)$[/tex].
Se hai a disposizione solo le funzioni [tex]$\text{E}_n(z)$[/tex] per [tex]$n\in \mathbb{N}$[/tex], ovviamente la rappresentazione precedente non aiuta (infatti se [tex]$b>0$[/tex] il numero [tex]1-\frac{1}{b}[/tex] non è un naturale!); se invece hai a disposizione anche le [tex]$\text{E}_n(z)$[/tex] per [tex]$n\in \mathbb{Z}$[/tex] con [tex]$n<0$[/tex], allora la rappresentazione precedente aiuta solo se [tex]$b$[/tex] è l'opposto del reciproco di un nemero naturale, ossia del tipo [tex]b=-\frac{1}{\nu -1}[/tex] per [tex]$\nu \in \mathbb{N}$[/tex] con [tex]$\nu \geq 2$[/tex].
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