Aiuto risoluzione es. Integrali Improprio

[peppe882]

Ciao ragazzi e ragazze! Ancora una volta chiedo il vostro aiuto!! Mi sono bloccato su questo esercizio!!!

Studiare la convergenza di questo $ int_(0)^(1) (x^2+1)/sqrt(sinx) $ Da quello che so si "dovrebbe" risolvere calcolando il $ lim_(a -> 0) int_(a)^(1) (x^2+1)/sqrt(sinx) $ .

Adesso non sono sicuro dei passaggi... vi dico cosa ho penasto!

1) Mi riscrivo l'integrale cosí $ lim_(a -> 0) int_(a)^(1) (x^2+1)(sin^(-1/2)x) $
2) Poi noto che é dato l' $ int sin^n(x) = -1/n sin^(n-1)x cosx + ((n+1)/n)(int sin^(n-2)x dx ) $
3) Procedo per parti $ U=x^2+1, dV= sin^(-1/2)x$ $ rArr $ $ dU=2x dx $, $V= $ all'integrale di $ sin^(-1/2)$

A questo punto non so piú che fare, peché dovro sempre risolvere un integrale del $ sin^n $...

Sbaglio qualcosa nel ragionamento ???

[Sk_Anonymous]

Se devi solo studiarne la convergenza, non è necessario calcolarne il valore.

[peppe882]

A si hai ragione! Ho visto che per capire se converge o no dovrei confrontarla con integrale simile e che conosco il suo integrale! dove $ int f(x) <= int g(x) $ e $ g(x) $ converge allora converge anche $f(x)$ giusto?

Peró ora che lo so, comunque non riesco a capire con quale integrale potrei confrontarlo...

[Richard_Dedekind]

Be', così a occhio mi verrebbe da dire che
\[ \frac{1}{\sqrt{\sin(x)}} \sim \frac{1}{\sqrt{x}} \]
quando \(x\to 0 \). Dunque si ottiene che
\[\frac{x^2+1}{\sqrt{\sin(x)}}\sim \frac{x^2+1}{\sqrt{x}}\]
quando \(x\to 0\)

[peppe882]

E quindi converge!