Aiuto risoluzione 2 limiti in forma indeterminata
Salve a tutti,
vorrei chiedere il vostro supporto per la risoluzione di questi due limiti, utilizzando i confronti asintotici (non utilizzando limiti notevoli o teorema di de l'Hôpital).
1) Vorrei sapere se i passaggi che ho utilizzato per risolvere questo limite sono corretti, per favore. Il riultato è correttamente $1/2$
$lim_(x->0)(tan(x)-sin(x))/x^3$
La forma indeterminata che ottengo è $0/0$
$lim_(x->0)((sin(x)/cos(x))-sin(x))/x^3$ = $lim_(x->0)((sin(x)-sin(x)+cos(x))/cos(x))/x^3$ = $lim_(x->0)((sin(x)(1-cos(x)))/cos(x))/x^3$
riscrivo $1-cos(x)$ servendomi della regola della simmetria del coseno e ottengo $cos(x) +1$, e mi accorgo che posso utilizzare il confronto asintotico sia per coseno che per seno: $cos(x) + 1 = x$ e $sin(x) = x$
$lim_(x->0)(((x)((x^2)/2))/cos(x))/x^3$ = $lim_(x->0)(((x^3)/2)/cos(x))/x^3$ =$lim_(x->0)((x^3)/(2cos(x)))/x^3$=$lim_(x->0)(1/(2cos(x)))$ = $1/2$
2) Non so proprio da che parte iniziare...
$lim_(x->0)(x(3x^2 - (root(2)(9x^4+6x+3)))$
La forma indeterminata che ottengo è $+oo$$-oo$
Vi ringrazio.
vorrei chiedere il vostro supporto per la risoluzione di questi due limiti, utilizzando i confronti asintotici (non utilizzando limiti notevoli o teorema di de l'Hôpital).
1) Vorrei sapere se i passaggi che ho utilizzato per risolvere questo limite sono corretti, per favore. Il riultato è correttamente $1/2$
$lim_(x->0)(tan(x)-sin(x))/x^3$
La forma indeterminata che ottengo è $0/0$
$lim_(x->0)((sin(x)/cos(x))-sin(x))/x^3$ = $lim_(x->0)((sin(x)-sin(x)+cos(x))/cos(x))/x^3$ = $lim_(x->0)((sin(x)(1-cos(x)))/cos(x))/x^3$
riscrivo $1-cos(x)$ servendomi della regola della simmetria del coseno e ottengo $cos(x) +1$, e mi accorgo che posso utilizzare il confronto asintotico sia per coseno che per seno: $cos(x) + 1 = x$ e $sin(x) = x$
$lim_(x->0)(((x)((x^2)/2))/cos(x))/x^3$ = $lim_(x->0)(((x^3)/2)/cos(x))/x^3$ =$lim_(x->0)((x^3)/(2cos(x)))/x^3$=$lim_(x->0)(1/(2cos(x)))$ = $1/2$
2) Non so proprio da che parte iniziare...
$lim_(x->0)(x(3x^2 - (root(2)(9x^4+6x+3)))$
La forma indeterminata che ottengo è $+oo$$-oo$
Vi ringrazio.
Risposte
Ciao, benvenuta sul forum!
Per (1):
Questo è sbagliato. Non è vero che $1-\cos x=1+\cos x$ per ogni $x\in\mathbb{R}$ (anche perché, per $x=0$ ti verrebbe $0=2$), l'identità corretta è $\cos(-x)=\cos x$ per ogni $x\in\mathbb{R}$. Inoltre, non è vero che $\cos x+1$ si comporta come $x$ per $x \to 0$, hai che $1-\cos x \approx x^2/2$ per $x \to 0$. Prova ad usare questa stima asintotica e guarda se ti torna $1/2$ (che è effettivamente il risultato giusto).
Per (2): credo che il limite sia per $x \to \infty$, altrimenti se come hai scritto è $x\to 0$ il limite è $0$.
In caso sia per $x \to \infty$: raccogli a fattor comune $9x^4$ nella radice e ricorda che $\sqrt{1+\epsilon}\approx 1+\epsilon/2$ per $\epsilon \to 0$.
P.S.: Hai studiato gli sviluppi di Taylor o puoi usare solo i limiti notevoli? In ogni caso, fai attenzione alla forma quando usi il fatto che certe funzioni, al limite, si comportano in un certo modo, perché non sono uguaglianze ma stime asintotiche. Quindi o usi il simbolo $\approx$ oppure ti servi di una qualche forma di errore.
Per (1):
"Anna33":
riscrivo $1-cos(x)$ servendomi della regola della simmetria del coseno e ottengo $cos(x) +1$, e mi accorgo che posso utilizzare il confronto asintotico sia per coseno che per seno: $cos(x) + 1 = x$ e $sin(x) = x$
Questo è sbagliato. Non è vero che $1-\cos x=1+\cos x$ per ogni $x\in\mathbb{R}$ (anche perché, per $x=0$ ti verrebbe $0=2$), l'identità corretta è $\cos(-x)=\cos x$ per ogni $x\in\mathbb{R}$. Inoltre, non è vero che $\cos x+1$ si comporta come $x$ per $x \to 0$, hai che $1-\cos x \approx x^2/2$ per $x \to 0$. Prova ad usare questa stima asintotica e guarda se ti torna $1/2$ (che è effettivamente il risultato giusto).
Per (2): credo che il limite sia per $x \to \infty$, altrimenti se come hai scritto è $x\to 0$ il limite è $0$.
In caso sia per $x \to \infty$: raccogli a fattor comune $9x^4$ nella radice e ricorda che $\sqrt{1+\epsilon}\approx 1+\epsilon/2$ per $\epsilon \to 0$.
P.S.: Hai studiato gli sviluppi di Taylor o puoi usare solo i limiti notevoli? In ogni caso, fai attenzione alla forma quando usi il fatto che certe funzioni, al limite, si comportano in un certo modo, perché non sono uguaglianze ma stime asintotiche. Quindi o usi il simbolo $\approx$ oppure ti servi di una qualche forma di errore.
"Mephlip":
Questo è sbagliato. Non è vero che $1-\cos x=1+\cos x$ per ogni $x\in\mathbb{R}$ (anche perché, per $x=0$ ti verrebbe $0=2$), l'identità corretta è $\cos(-x)=\cos x$ per ogni $x\in\mathbb{R}$.
Grazie per la correzione.
"Mephlip":
Inoltre, non è vero che $\cos x+1$ si comporta come $x$ per $x \to 0$, hai che $1-\cos x \approx x^2/2$ per $x \to 0$. Prova ad usare questa stima asintotica e guarda se ti torna $1/2$ (che è effettivamente il risultato giusto).
Chiedo scusa, ho commesso un errore di distrazione, intendevo proprio $approx x^2/2$ (nel passaggio della risoluzione ho scritto correttamente).
Il mio dilemma resta il segno: $1- cos(x)$ non dovrebbe essere $approx -x^2/2$ ?
"Mephlip":
Per (2): credo che il limite sia per $x \to \infty$, altrimenti se come hai scritto è $x\to 0$ il limite è $0$.
In caso sia per $x \to \infty$: raccogli a fattor comune $9x^4$ nella radice e ricorda che $\sqrt{1+\epsilon}\approx 1+\epsilon/2$ per $\epsilon \to 0$.
P.S.: Hai studiato gli sviluppi di Taylor o puoi usare solo i limiti notevoli?
Non ho studiato gli sviluppi di Taylor. Perdonami, ma nel caso di $x \to \infty$ non ho capito in che senso raccogliere a fattor comune $9x^4$ nella radice, il resto l'ho capito.
Grazie per l'aiuto!
Prego!
No, te ne puoi convincere innanzitutto perché $\cos x \le 1$ per ogni $x\in\mathbb{R}$, quindi $1-\cos x \ge 0$ per ogni $x\in\mathbb{R}$. Perciò, non può essere $1-\cos x \approx -x^2/2$ per $x \to 0$ visto che $-x/2 \le 0$ per ogni $x \in \mathbb{R}$ e quindi $-x^2/2$ è non positivo, in particolare, quando $x$ è vicino a $0$.
Ti stai confondendo con $\cos x-1$ che, effettivamente, è $\approx -x^2/2$ per $x \to 0$.
Hai che:
$$\sqrt{9x^4+6x+3}=\sqrt{9x^4\left(1+\frac{2}{3x^3}+\frac{1}{3x^4}\right)}=3x^2\sqrt{1+\frac{2}{3x^3}+\frac{1}{3x^4}}$$
dato che $\frac{2}{3x^3}+\frac{1}{3x^4} \to 0$ quando $x \to \infty$, puoi applicare la stima asintotica $\sqrt{1+\epsilon}\approx 1+\epsilon/2$ con $\epsilon=\frac{2}{3x^3}+\frac{1}{3x^4}$.
Alternativamente, puoi moltiplicare per $\frac{3x^2+\sqrt{9x^4+6x+3}}{3x^2+\sqrt{9x^4+6x+3}}$ e notare che $(3x^2-\sqrt{9x^4+6x+3})(3x^2+\sqrt{9x^4+6x+3})=(3x^2)^2-(9x^4+6x+3)=-6x-3$ (differenza di quadrati).
"Anna33":
Il mio dilemma resta il segno: $1- cos(x)$ non dovrebbe essere $approx -x^2/2$ ?
No, te ne puoi convincere innanzitutto perché $\cos x \le 1$ per ogni $x\in\mathbb{R}$, quindi $1-\cos x \ge 0$ per ogni $x\in\mathbb{R}$. Perciò, non può essere $1-\cos x \approx -x^2/2$ per $x \to 0$ visto che $-x/2 \le 0$ per ogni $x \in \mathbb{R}$ e quindi $-x^2/2$ è non positivo, in particolare, quando $x$ è vicino a $0$.
Ti stai confondendo con $\cos x-1$ che, effettivamente, è $\approx -x^2/2$ per $x \to 0$.
"Anna33":
Non ho studiato gli sviluppi di Taylor. Perdonami, ma nel caso di $x→∞$ non ho capito in che senso raccogliere a fattor comune $9x^4$ nella radice, il resto l'ho capito.
Hai che:
$$\sqrt{9x^4+6x+3}=\sqrt{9x^4\left(1+\frac{2}{3x^3}+\frac{1}{3x^4}\right)}=3x^2\sqrt{1+\frac{2}{3x^3}+\frac{1}{3x^4}}$$
dato che $\frac{2}{3x^3}+\frac{1}{3x^4} \to 0$ quando $x \to \infty$, puoi applicare la stima asintotica $\sqrt{1+\epsilon}\approx 1+\epsilon/2$ con $\epsilon=\frac{2}{3x^3}+\frac{1}{3x^4}$.
Alternativamente, puoi moltiplicare per $\frac{3x^2+\sqrt{9x^4+6x+3}}{3x^2+\sqrt{9x^4+6x+3}}$ e notare che $(3x^2-\sqrt{9x^4+6x+3})(3x^2+\sqrt{9x^4+6x+3})=(3x^2)^2-(9x^4+6x+3)=-6x-3$ (differenza di quadrati).
Ciao Anna33,
Capisco che magari ti sia stato chiesto di risolverli mediante le stime asintotiche, ma segnalo sommessamente che i limiti proposti si risolvono molto più facilmente coi limiti notevoli:
1) $ \lim_{x \to 0} (tan(x)-sin(x))/x^3 = \lim_{x \to 0}((sin(x)(1-cos(x)))/cos(x))/x^3 = \lim_{x \to 0}(sin(x)(1-cos(x)))/(x^3 cos(x)) = $
$ = \lim_{x \to 0}sin(x)/x \cdot (1-cos(x))/x^2 \cdot 1/cos(x) = 1 \cdot 1/2 \cdot 1/1 = 1/2 $
2) $ \lim_{x \to \pm \infty} x(3x^2 - \sqrt(9x^4+6x+3)) = \lim_{x \to \pm \infty} x(3x^2 - 3x^2\sqrt{1+\frac{2}{3x^3}+\frac{1}{3x^4}}) = $
$ = \lim_{x \to \pm \infty} 3x^3(1 - \sqrt{1+\frac{2}{3x^3}+\frac{1}{3x^4}}) = - \lim_{x \to \pm \infty} 3x^3(\sqrt{1+\frac{2}{3x^3}+\frac{1}{3x^4}} - 1) = $
$ = - \lim_{x \to \pm \infty} 3x^3 \cdot (\frac{2}{3x^3}+\frac{1}{3x^4})(\sqrt{1+\frac{2}{3x^3}+\frac{1}{3x^4}} - 1)/(\frac{2}{3x^3}+\frac{1}{3x^4}) = - \lim_{x \to \pm \infty} (2 +\frac{1}{x})(\sqrt{1+\frac{2}{3x^3}+\frac{1}{3x^4}} - 1)/(\frac{2}{3x^3}+\frac{1}{3x^4}) = $
$ = - (2 + 0) \cdot 1/2 = - 1 $
Capisco che magari ti sia stato chiesto di risolverli mediante le stime asintotiche, ma segnalo sommessamente che i limiti proposti si risolvono molto più facilmente coi limiti notevoli:
1) $ \lim_{x \to 0} (tan(x)-sin(x))/x^3 = \lim_{x \to 0}((sin(x)(1-cos(x)))/cos(x))/x^3 = \lim_{x \to 0}(sin(x)(1-cos(x)))/(x^3 cos(x)) = $
$ = \lim_{x \to 0}sin(x)/x \cdot (1-cos(x))/x^2 \cdot 1/cos(x) = 1 \cdot 1/2 \cdot 1/1 = 1/2 $
2) $ \lim_{x \to \pm \infty} x(3x^2 - \sqrt(9x^4+6x+3)) = \lim_{x \to \pm \infty} x(3x^2 - 3x^2\sqrt{1+\frac{2}{3x^3}+\frac{1}{3x^4}}) = $
$ = \lim_{x \to \pm \infty} 3x^3(1 - \sqrt{1+\frac{2}{3x^3}+\frac{1}{3x^4}}) = - \lim_{x \to \pm \infty} 3x^3(\sqrt{1+\frac{2}{3x^3}+\frac{1}{3x^4}} - 1) = $
$ = - \lim_{x \to \pm \infty} 3x^3 \cdot (\frac{2}{3x^3}+\frac{1}{3x^4})(\sqrt{1+\frac{2}{3x^3}+\frac{1}{3x^4}} - 1)/(\frac{2}{3x^3}+\frac{1}{3x^4}) = - \lim_{x \to \pm \infty} (2 +\frac{1}{x})(\sqrt{1+\frac{2}{3x^3}+\frac{1}{3x^4}} - 1)/(\frac{2}{3x^3}+\frac{1}{3x^4}) = $
$ = - (2 + 0) \cdot 1/2 = - 1 $
Grazie mille, Mephlip, mi hai davvero illuminato. Ti ringrazio anche per la pazienza e la chiarezza con le quali mi hai aiutato a dissipare i dubbi.
Grazie, pilloeffe, lo svolgimento con i limiti notevoli che mi hai suggerito tornerà sicuramente utile.
Grazie, pilloeffe, lo svolgimento con i limiti notevoli che mi hai suggerito tornerà sicuramente utile.
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