Aiuto. Rappresentare nel piano complesso!
Mi aiutate a svolgere questo esercizio?
Rappresentare nel piano complesso i seguenti insiemi
\(\displaystyle A = \{z \in C : Im(z^4)<0, Re (\imath z-z)<0, |z|>3\} \)
\(\displaystyle B = \{w \in C : w^2 = z, z \in A \} \)
Ho provato a risolvere l'insieme \(\displaystyle A \) nel modo seguente, ma non mi sembra la giusta strada.
\(\displaystyle z = x+\imath y \)
\(\displaystyle Im((x+\imath y)^4)<0 \) ok che poi si tiene la parte immaginaria ma è molto laborioso questo calcolo!
\(\displaystyle Re(\imath (x+\imath y)-(x+\imath y))<0 \) stessa cosa come sopra, qua si tiene la parte reale, ma anche questo calcolo mi sembra laborioso
mentre questo è sicuramente giusto che \(\displaystyle |z|>3 \) è \(\displaystyle x^2+y^2>9 \) ciconferenza nell'origine
sapreste aiutarmi a trovare una strada più facile per \(\displaystyle Im(z^4)<0, Re (\imath z-z)<0, \) ?
Grazie in anticipo!
Rappresentare nel piano complesso i seguenti insiemi
\(\displaystyle A = \{z \in C : Im(z^4)<0, Re (\imath z-z)<0, |z|>3\} \)
\(\displaystyle B = \{w \in C : w^2 = z, z \in A \} \)
Ho provato a risolvere l'insieme \(\displaystyle A \) nel modo seguente, ma non mi sembra la giusta strada.
\(\displaystyle z = x+\imath y \)
\(\displaystyle Im((x+\imath y)^4)<0 \) ok che poi si tiene la parte immaginaria ma è molto laborioso questo calcolo!
\(\displaystyle Re(\imath (x+\imath y)-(x+\imath y))<0 \) stessa cosa come sopra, qua si tiene la parte reale, ma anche questo calcolo mi sembra laborioso
mentre questo è sicuramente giusto che \(\displaystyle |z|>3 \) è \(\displaystyle x^2+y^2>9 \) ciconferenza nell'origine
sapreste aiutarmi a trovare una strada più facile per \(\displaystyle Im(z^4)<0, Re (\imath z-z)<0, \) ?
Grazie in anticipo!
Risposte
$Re(iz-z)=Re[z(i-1)]=Re[(x+iy)(i-1)]=Re(ix-x-y-iy)=-x-y$
ok!
e per \(\displaystyle Im(z^4)<0 \)?
che cosa si fa?..
e per \(\displaystyle Im(z^4)<0 \)?
che cosa si fa?..
Io ho calcolato $z^{4}=(x+iy)^{4}=x^{4}-6x^{2}y^{2}+y^{4}+i(4x^{3}y-4xy^{3})$ e quindi $Im(z^{4}) < 0 \implies 4xy(x^{2}-y^{2}) < 0$. Non mi è venuto nulla di meglio. Però se ti studi la disequazione ottieni l'insieme richiesto.
in sostanza quindi ho
\(\displaystyle x^2+y^2>9 \) circonferenza centrata nell'origine di raggio 9
\(\displaystyle -x-y<0 \) che è \(\displaystyle x>y \) e poi \(\displaystyle 4xy(x^2-y^2)<0 \) quest'ultima è un'iperbole nel semiasse positivo xkè
studio i 2 casi
Primo caso
\(\displaystyle 4xy<0 \)
\(\displaystyle x^2-y^2>0 \)
secondo caso
\(\displaystyle 4xy>0 \)
\(\displaystyle x^2-y^2<0 \)
vanno bene entrambi i casi giusto?
È tutto esatto vero?
\(\displaystyle x^2+y^2>9 \) circonferenza centrata nell'origine di raggio 9
\(\displaystyle -x-y<0 \) che è \(\displaystyle x>y \) e poi \(\displaystyle 4xy(x^2-y^2)<0 \) quest'ultima è un'iperbole nel semiasse positivo xkè
studio i 2 casi
Primo caso
\(\displaystyle 4xy<0 \)
\(\displaystyle x^2-y^2>0 \)
secondo caso
\(\displaystyle 4xy>0 \)
\(\displaystyle x^2-y^2<0 \)
vanno bene entrambi i casi giusto?
È tutto esatto vero?
$-x-y <0 \iff x+y >0 \iff y > -x$.
Non capisco invece quando parli di iperbole.
Non capisco invece quando parli di iperbole.
Im(z^4)<0 si può risolvere ,forse in maniera più compatta ,passando a coordinate polari.Posto:
\(\displaystyle z=\rho(\cos\theta+i\sin\theta) \) ,si ha:\(\displaystyle z^4=\rho^4(\cos4\theta+i\sin4\theta) \)
Pertanto la relazione diventa :
\(\displaystyle \rho^4\sin4\theta<0 \) e poichè è certamente \(\displaystyle \rho^4>0 \) dobbiamo solo risolvere la disequazione:
\(\displaystyle \sin4\theta<0 \) sul cerchio trigonometrico
Poiché la funzione seno è negativa nel 3° e 4° quadrante abbiamo :
\(\displaystyle \pi+2k\pi<4\theta<2\pi+2k\pi \)
Ponendo k=0,1,2,3 si avranno per theta le limitazionI seguentI:
\(\displaystyle \theta \in (\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}) \bigcup (\frac{3}{4}\pi,\pi) \bigcup(\frac{5}{4}\pi,\frac{3}{2}\pi) \bigcup(\frac{7}{4}\pi,2\pi) \)
Tracciando le bisettrici del piano ,esse insieme con gli assi coordinati dividono il piano stesso in otto parti dette ottanti.Allora dalla precedente soluzione si ricava che che la disequazione è verificata negli ottanti pari :secondo,quarto,sesto ed ottavo ( con l' esclusione delle rispettive frontiere).
\(\displaystyle z=\rho(\cos\theta+i\sin\theta) \) ,si ha:\(\displaystyle z^4=\rho^4(\cos4\theta+i\sin4\theta) \)
Pertanto la relazione diventa :
\(\displaystyle \rho^4\sin4\theta<0 \) e poichè è certamente \(\displaystyle \rho^4>0 \) dobbiamo solo risolvere la disequazione:
\(\displaystyle \sin4\theta<0 \) sul cerchio trigonometrico
Poiché la funzione seno è negativa nel 3° e 4° quadrante abbiamo :
\(\displaystyle \pi+2k\pi<4\theta<2\pi+2k\pi \)
Ponendo k=0,1,2,3 si avranno per theta le limitazionI seguentI:
\(\displaystyle \theta \in (\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}) \bigcup (\frac{3}{4}\pi,\pi) \bigcup(\frac{5}{4}\pi,\frac{3}{2}\pi) \bigcup(\frac{7}{4}\pi,2\pi) \)
Tracciando le bisettrici del piano ,esse insieme con gli assi coordinati dividono il piano stesso in otto parti dette ottanti.Allora dalla precedente soluzione si ricava che che la disequazione è verificata negli ottanti pari :secondo,quarto,sesto ed ottavo ( con l' esclusione delle rispettive frontiere).
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo