Aiuto rapporto incrementale derivata seconda tangente x

[carlo1983]

Salve a tutti, ho un grosso problema (per me, per voi credo sia una bazzecola), vorrei dimostrare, soltanto attraverso l'uso del rapporto incrementale, che la derivata seconda della tangente di x è uguale alla tangente di x per la secante quadra di x per 2. Potete aiutarmi?


PS:
Prima di scrivere i passaggi da me effettuati, mi fornireste un link ad una guida che mi permetta di indentare in maniera efficace le formule?

Grazie anticipatamente.

[salvozungri]

Benvenuto nel forum. Come da te richiesto ecco il link che spiega come introdurre le formule

Mentre questo è il regolamento, se non l'avessi già letto. .

Tornando al problema, inserisci i tuoi progressi e vediamo cosa possiamo fare

[carlo1983]

$f(x) = 1/(cos(x)^2)$
$lim_(h->0)(f(x+h)-f(x))/h$
$lim_(h->0)((1/cos(x+h)^2)-(1/cos(x)^2))/h$
$lim_(h->0)((cos(x)^2-cos(x+h)^2)/(cos(x+h)^2*cos(x)^2*h))$
$lim_(h->0)(sen(x)^2)/(sen(x)^2)*((cos(x)^2-cos(x+h)^2)/(cos(x+h)^2*cos(x)^2*h))$
$tan(x)^2*lim_(h->0)((cos(x)^2-cos(x+h)^2)/(cos(x+h)^2*cos(x)^2*h*sen(x)^2))$


Spero di aver usato correttamente ASCIIMathML, qui è dove mi sono fermato, in pratica ho moltiplicato e diviso per sen^2(x) il tutto ottenendo tan^2(x). Il mio problema ora l'h al denominatore che mi manda il tutto ad infinito. Mi date qualche spunto? (non di più mi raccomando ).

PS: Per indentare è una faticaccia

[K.Lomax]

Ti consiglierei di scrivere $cos^2x$ e non $cos(x)^2$ altrimenti si potrebbe intendere il quadrato riferito all'argomento del coseno e non al coseno stesso. Non ho provato a fare i calcoli ma, ad occhio e croce, ti consiglierei di sfruttare in primo luogo la seguente formula $cos^2t=(1+cos2t)/2$, e successivamente la formula di addizione per il coseno, che con $h->0$ diventa $cos(2(t+h))=cos2tcos2h$.

[carlo1983]

Spero di aver colto per il verso giusto gli indizzi datimi ed ho agito così:

$tan^2(x)*lim_(h->0)(((1+cos(2x))/2-(cos(x)*cos(h)-sen(x)*sen(h))^2)/((cos(x)*cos(h)-sen(x)*sen(h))^2*cos^2(x)*sen^2(x)*h))$
$tan^2(x)*lim_(h->0)(((1+cos(2x))-2*(cos(x)*cos(h)-sen(x)*sen(h))^2)/(2*(cos(x)*cos(h)-sen(x)*sen(h))^2*cos^2(x)*sen^2(x)*h))$

I calcoli dovrebbero essere corretti, vi prego di prestarvi attenzione. Per quel che riguarda ora la mia difficoltà, il tutto stà nel togliere quell'h al denominatore. Poi dovrebbe essere fatta. Potete darmi un altro suggerimento per continuare?

[piero_1]

"carlo1983":$f(x) = 1/(cos(x)^2)$
$lim_(h->0)(f(x+h)-f(x))/h$
$lim_(h->0)((1/cos(x+h)^2)-(1/cos(x)^2))/h$
$lim_(h->0)((cos(x)^2-cos(x+h)^2)/(cos(x+h)^2*cos(x)^2*h))$

continua così:
$lim_(h->0)(cos^2(x)-cos^2(x+h))/(h*cos^2(x+h)*cos^2(x))$
$lim_(h->0)((cos(x+h)+cos(x))(cos(x)-cos(x+h)))/(h*cos^2(x+h)*cos^2(x))$
$lim_(h->0)((cos(x+h)+cos(x)))/(cos^2(x+h)*cos^2(x))*lim_(h->0)(cos(x)-cos(x+h))/h$
$2/(cos^3(x))*lim_(h->0)(-2sen((2x+h))/2*sen(-h/2))/h$
ho applicato le formule di prostaferesi sul secondo limite (che tende a $ sen(x) $) se non ti trovi dimmi
dunque
$lim_(h->0)(cos^2(x)-cos^2(x+h))/(h*cos^2(x+h)*cos^2(x))=(2sen(x))/(cos^3(x))=$
$=2(sen(x))/cos(x)*1/(cos^2(x))=2tg(x)*cosec^2(x)$

[carlo1983]

"piero_":[quote="carlo1983"]$f(x) = 1/(cos(x)^2)$
$lim_(h->0)(f(x+h)-f(x))/h$
$lim_(h->0)((1/cos(x+h)^2)-(1/cos(x)^2))/h$
$lim_(h->0)((cos(x)^2-cos(x+h)^2)/(cos(x+h)^2*cos(x)^2*h))$

continua così:
$lim_(h->0)(cos^2(x)-cos^2(x+h))/(h*cos^2(x+h)*cos^2(x))$
$lim_(h->0)((cos(x+h)+cos(x))(cos(x)-cos(x+h)))/(h*cos^2(x+h)*cos^2(x))$
$lim_(h->0)((cos(x+h)+cos(x)))/(cos^2(x+h)*cos^2(x))*lim_(h->0)(cos(x)-cos(x+h))/h$
$2/(cos^3(x))*lim_(h->0)(-2sen((2x+h))/2*sen(-h/2))/h$
ho applicato le formule di prostaferesi sul secondo limite (che tende a $ sen(x) $) se non ti trovi dimmi
dunque
$lim_(h->0)(cos^2(x)-cos^2(x+h))/(h*cos^2(x+h)*cos^2(x))=(2sen(x))/(cos^3(x))=$
$=2(sen(x))/cos(x)*1/(cos^2(x))=2tg(x)*cosec^2(x)$[/quote]

Non mi trovo, perdona la stupidità. ma secondo i miei calcoli, probabilmente errati, il limite che tende a sen(x) è diverso, io mi trovo:

$2/(cos^3(x))*lim_(h->0)(-2sen((2x+h))/2*sen(+h/2))/h$
e poi non capisco come quel limite risulti sen(x), me lo spiegheresti per favore?
Grazie 1000 per l'aiuo

[piero_1]

@carlo1983:
confermo i miei calcoli.
per l'argomento che non ti viene è:
$(x-(x+h))/2=-h/2$
inoltre per il limite abbiamo:
$lim_(h->0)(-2sen((2x+h))/2*sen(-h/2))/h=$
$lim_(h->0)-2sen((2x+h))/2*lim_(h->0)(sen(-h/2))/h=$
$-2sen(x)*(-1/2)=sen(x)$
dimmi se ti trovi

[piero_1]

dimenticavo... la formula è questa:
$cos(p)-cos(q)=-2*sen((p+q)/2)*sen((p-q)/2)$
per noi è
$p=x$
$q=x+h$

[carlo1983]

Mi hai guidato passo-passo, come sbagliare. Grazie a te e a chi mi ha aiutato. Ci "sentiamo" al prossimo aiuto.

[piero_1]

alla prossima.
ciao