Aiuto per un integrale e per il dominio di una f.

[smile987-votailprof]

Salve ragazzi, scusate se in questi giorni sto cominciando un po' a stressarvi...ma l'esame si avvicina e con questo anche i problemi, oltretutto quel gran simpaticone del professore non fa ricevimento! Cmq le difficoltà che ho trovato ultimamente sono:
Come risolvo questo integrale indefinito? --> $int e^x/(1+e^(4x))dx$
Ho provato ponendo $e^x=t$ e quindi $x=log t$ e $dx=1/t$ per cui l'integrale diventa: $int 1/(1+t^4)dt$ ma questo nuovo integrale non riesco a risolverlo. Ho sbagliato la sostituzione?o come inizio è giusto? vi prego datemi una mano a risolverlo!!!

Come seconda cosa vorrei chiedervi una mano per un argomento un po' più facile, ovvero ricercare il dominio della funzione:
$log(sinx-cosx)$ ovviamente penso che si debba porre l'argomento del logaritmo maggiore di zero, e quindi $sinx-cosx>0$ da cui dividendo per cosx si ottiene l'equazione $tanx>1$ (giusto?) Da questa ottengo come soluzioni $pi/4+kpi

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Risposte

neopeppe89

2 set 2008, 18:21

guarda x l'integrale penso di poterti aiutare anche se mi sento 1 pò arrugginito dall'estate...
Allora...il mio ragionamento è stato:
il tuo integrale lo puoi considerare come e alla x fratto 1 + e alla 2x al quadrato...
moltipliacando per 2 e dividendo per 2 hai al numeratore la derivata di e alla 2x e poi è fatta...se il mio ragionamento è giusto è $1/2$ logaritmo naturale di e alla 2x!!!ora lavoro anche all'altra richiesta se non t dispiace!!ciaooo

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neopeppe89

2 set 2008, 18:26

x il dominio la prima possibilità è cercare i valori per cui la curva del seno giace sopra quella del coseno nell'intervallo o 2$\pi$ a livello grafico e poi applicare la periodicità!

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@melia

2 set 2008, 18:34

"MSword87": ricercare il dominio della funzione:
$log(sinx-cosx)$ ovviamente penso che si debba porre l'argomento del logaritmo maggiore di zero, e quindi $sinx-cosx>0$ da cui dividendo per cosx si ottiene l'equazione $tanx>1$ (giusto?) Da questa ottengo come soluzioni $pi/4+kpi

Nelle disequazioni non puoi dividere per un fattore di cui non conosci il segno, quindi non è assolutamente ammessa la divisione per il $cos x$

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neopeppe89

2 set 2008, 18:38

è si...in effetti è 1errore tanto grande quanto frequente!

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kekko989

2 set 2008, 19:31

$sinx>cosx$ è molto semplice solo pensando alla circonferenza goniometrica,senza ricorrere alle formule parametriche. Nel primo quadrante è maggiore del coseno quando $pi/4

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adaBTTLS1

2 set 2008, 19:33

kekko... quel "compreso" scritto così da te non me lo sarei aspettato... correggi subito! ciao.

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Giulio892

2 set 2008, 20:05

"neopeppe89":guarda x l'integrale penso di poterti aiutare anche se mi sento 1 pò arrugginito dall'estate...
Allora...il mio ragionamento è stato:
il tuo integrale lo puoi considerare come e alla x fratto 1 + e alla 2x al quadrato...
moltipliacando per 2 e dividendo per 2 hai al numeratore la derivata di e alla 2x e poi è fatta...se il mio ragionamento è giusto è $1/2$ logaritmo naturale di e alla 2x!!!ora lavoro anche all'altra richiesta se non t dispiace!!ciaooo

$1/2loge^(2x)+c=xloge+c=x+c$ non può essere questo l'integrale della funzione...la derivata di $(e^2x)^2$ è $4e^(4x)$...

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Giulio892

2 set 2008, 20:19

Ma sei sicuro che è questo l'integrale??Wolfram integrator dà un risultato abbastanza complesso...

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kekko989

2 set 2008, 20:22

"adaBTTLS":kekko... quel "compreso" scritto così da te non me lo sarei aspettato... correggi subito! ciao.

ihih hai ragione,scusami!Grazie della fiducia,piccola distrazione mentale. Ciao!

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kekko989

2 set 2008, 20:30

cmq si,anche derive da un risultano eccessivamente complesso. Stavo pensando con l'arctangente,ma non abbiano sopra la derivata di $t^2$.

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adaBTTLS1

2 set 2008, 21:56

speravo di dare un contributo anche per l'integrale... invece non ho ottenuto risultati significativi.

per quanto riguarda il dominio, la condizione $senx>cosx$ è esatta, ma perché ricorrere ad artifici particolari e non considerare la semplice risoluzione grafica?
se prendi la retta Y=X, bisettrice di I e III quadrante, questa divide il piano in due semipiani: in uno dei due Y>X (cioè senx>cosx per x, nel primo giro, compreso tra 45° e 135°)
dunque il dominio della funzione $f(x)=log(senx-cosx)$ è l'insieme ${x in RR | pi/4+2kpi < x < 3pi/4+2kpi, k in ZZ}$
è chiaro? ciao.

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smile987-votailprof

3 set 2008, 07:56

Grazie a tutti per le risposte. In effetti per quanto riguarda il dominio della funzione si tratta proprio di quella tipologia di disequazioni che qualche giorno fa vi chiedevo, quindi ancora devo prenderci bene la mano!
Per quanto riguarda l'integrale è proprio quello,non ci sono errori! Comunque secondo me dovrebbe essere qualche tipologia di integrale particolare risolvibile sfruttando particolari proprietà in modo da ricondurlo ad esempio all' integrale di una funzione razionale fratta o qualche altra tipologia di integrale. Grazie comunque a tutti!

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Giulio892

3 set 2008, 09:14

Secondo me quell'integrale non esiste in $R$ ma solo in $C$..ora riprovo a integrare...

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smile987-votailprof

3 set 2008, 09:36

Si magari scomponendo il denominatore in $(t^4+1)=(t^2-i)(t^2+i)$ ma dopo non riesco più ad andare avanti, se si riuscisse a scomporre ulteriormente il denominatore o a ricavare le soluzioni di $(t^2-i)(t^2+i)=0$ si potrebbe risolvere l'integrale come integrale di una funzione razionale fratta. o no? comunque fammi sapere cosa riesci a fare!ciao ciaooo

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Giulio892

3 set 2008, 09:46

Io ho cercato di integrarla in quel modo...ora vedo cosa viene fuori...

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Megan00b

3 set 2008, 10:04

Scrivete $i=e^(ipi/2)$ e applicate
$intdt/((t^2+a)(t^2-a))=ln((t-sqrta)/(t+sqrta))/(4a^(3/2))-arctg(t/sqrta)/(2a^(3/2))$
sempre che il tutto abbia senso...

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Giulio892

3 set 2008, 10:55

"Megan00b":Scrivete $i=e^(ipi/2)$ e applicate
$intdt/((t^2+a)(t^2-a))=ln((t-sqrta)/(t+sqrta))/(4a^(3/2))-arctg(t/sqrta)/(2a^(3/2))$
sempre che il tutto abbia senso...

E quest identità da dove viene?Deriva dll'identità diEulero?

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Megan00b

3 set 2008, 10:57

se ti riferisci alla prima è semplicemente la notazione esponenziale dei numeri complessi:
$e^(itheta)=costheta+isentheta$
se ti riferisci alla formula con l'integrale basta che derivi il secondo membro.

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neopeppe89

3 set 2008, 11:18

Giulio89...hai ragione...me ne sono reso conto subito...per fare in fretta per andare a cena c' ho ragionato poco sopra!!!scusa MSword87

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Giulio892

3 set 2008, 12:19

"neopeppe89":Giulio89...hai ragione...me ne sono reso conto subito...per fare in fretta per andare a cena c' ho ragionato poco sopra!!!scusa MSword87

No problem!!Capita spesso anche a me..

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[neopeppe89]

guarda x l'integrale penso di poterti aiutare anche se mi sento 1 pò arrugginito dall'estate...
Allora...il mio ragionamento è stato:
il tuo integrale lo puoi considerare come e alla x fratto 1 + e alla 2x al quadrato...
moltipliacando per 2 e dividendo per 2 hai al numeratore la derivata di e alla 2x e poi è fatta...se il mio ragionamento è giusto è $1/2$ logaritmo naturale di e alla 2x!!!ora lavoro anche all'altra richiesta se non t dispiace!!ciaooo

[neopeppe89]

x il dominio la prima possibilità è cercare i valori per cui la curva del seno giace sopra quella del coseno nell'intervallo o 2$\pi$ a livello grafico e poi applicare la periodicità!

[@melia]

"MSword87": ricercare il dominio della funzione:
$log(sinx-cosx)$ ovviamente penso che si debba porre l'argomento del logaritmo maggiore di zero, e quindi $sinx-cosx>0$ da cui dividendo per cosx si ottiene l'equazione $tanx>1$ (giusto?) Da questa ottengo come soluzioni $pi/4+kpi

Nelle disequazioni non puoi dividere per un fattore di cui non conosci il segno, quindi non è assolutamente ammessa la divisione per il $cos x$

[neopeppe89]

è si...in effetti è 1errore tanto grande quanto frequente!

[kekko989]

$sinx>cosx$ è molto semplice solo pensando alla circonferenza goniometrica,senza ricorrere alle formule parametriche. Nel primo quadrante è maggiore del coseno quando $pi/4

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[adaBTTLS1]

kekko... quel "compreso" scritto così da te non me lo sarei aspettato... correggi subito! ciao.

[Giulio892]

"neopeppe89":guarda x l'integrale penso di poterti aiutare anche se mi sento 1 pò arrugginito dall'estate...
Allora...il mio ragionamento è stato:
il tuo integrale lo puoi considerare come e alla x fratto 1 + e alla 2x al quadrato...
moltipliacando per 2 e dividendo per 2 hai al numeratore la derivata di e alla 2x e poi è fatta...se il mio ragionamento è giusto è $1/2$ logaritmo naturale di e alla 2x!!!ora lavoro anche all'altra richiesta se non t dispiace!!ciaooo

$1/2loge^(2x)+c=xloge+c=x+c$ non può essere questo l'integrale della funzione...la derivata di $(e^2x)^2$ è $4e^(4x)$...

[Giulio892]

Ma sei sicuro che è questo l'integrale??Wolfram integrator dà un risultato abbastanza complesso...

[kekko989]

"adaBTTLS":kekko... quel "compreso" scritto così da te non me lo sarei aspettato... correggi subito! ciao.

ihih hai ragione,scusami!Grazie della fiducia,piccola distrazione mentale. Ciao!

[kekko989]

cmq si,anche derive da un risultano eccessivamente complesso. Stavo pensando con l'arctangente,ma non abbiano sopra la derivata di $t^2$.

[adaBTTLS1]

speravo di dare un contributo anche per l'integrale... invece non ho ottenuto risultati significativi.

per quanto riguarda il dominio, la condizione $senx>cosx$ è esatta, ma perché ricorrere ad artifici particolari e non considerare la semplice risoluzione grafica?
se prendi la retta Y=X, bisettrice di I e III quadrante, questa divide il piano in due semipiani: in uno dei due Y>X (cioè senx>cosx per x, nel primo giro, compreso tra 45° e 135°)
dunque il dominio della funzione $f(x)=log(senx-cosx)$ è l'insieme ${x in RR | pi/4+2kpi < x < 3pi/4+2kpi, k in ZZ}$
è chiaro? ciao.

[smile987-votailprof]

Grazie a tutti per le risposte. In effetti per quanto riguarda il dominio della funzione si tratta proprio di quella tipologia di disequazioni che qualche giorno fa vi chiedevo, quindi ancora devo prenderci bene la mano!
Per quanto riguarda l'integrale è proprio quello,non ci sono errori! Comunque secondo me dovrebbe essere qualche tipologia di integrale particolare risolvibile sfruttando particolari proprietà in modo da ricondurlo ad esempio all' integrale di una funzione razionale fratta o qualche altra tipologia di integrale. Grazie comunque a tutti!

[Giulio892]

Secondo me quell'integrale non esiste in $R$ ma solo in $C$..ora riprovo a integrare...

[smile987-votailprof]

Si magari scomponendo il denominatore in $(t^4+1)=(t^2-i)(t^2+i)$ ma dopo non riesco più ad andare avanti, se si riuscisse a scomporre ulteriormente il denominatore o a ricavare le soluzioni di $(t^2-i)(t^2+i)=0$ si potrebbe risolvere l'integrale come integrale di una funzione razionale fratta. o no? comunque fammi sapere cosa riesci a fare!ciao ciaooo

[Giulio892]

Io ho cercato di integrarla in quel modo...ora vedo cosa viene fuori...

[Megan00b]

Scrivete $i=e^(ipi/2)$ e applicate
$intdt/((t^2+a)(t^2-a))=ln((t-sqrta)/(t+sqrta))/(4a^(3/2))-arctg(t/sqrta)/(2a^(3/2))$
sempre che il tutto abbia senso...

[Giulio892]

"Megan00b":Scrivete $i=e^(ipi/2)$ e applicate
$intdt/((t^2+a)(t^2-a))=ln((t-sqrta)/(t+sqrta))/(4a^(3/2))-arctg(t/sqrta)/(2a^(3/2))$
sempre che il tutto abbia senso...

E quest identità da dove viene?Deriva dll'identità diEulero?

[Megan00b]

se ti riferisci alla prima è semplicemente la notazione esponenziale dei numeri complessi:
$e^(itheta)=costheta+isentheta$
se ti riferisci alla formula con l'integrale basta che derivi il secondo membro.

[neopeppe89]

Giulio89...hai ragione...me ne sono reso conto subito...per fare in fretta per andare a cena c' ho ragionato poco sopra!!!scusa MSword87

[Giulio892]

"neopeppe89":Giulio89...hai ragione...me ne sono reso conto subito...per fare in fretta per andare a cena c' ho ragionato poco sopra!!!scusa MSword87

No problem!!Capita spesso anche a me..