Aiuto per un integrale e per il dominio di una f.

[smile987-votailprof]

Salve ragazzi, scusate se in questi giorni sto cominciando un po' a stressarvi...ma l'esame si avvicina e con questo anche i problemi, oltretutto quel gran simpaticone del professore non fa ricevimento! Cmq le difficoltà che ho trovato ultimamente sono:
Come risolvo questo integrale indefinito? --> $int e^x/(1+e^(4x))dx$
Ho provato ponendo $e^x=t$ e quindi $x=log t$ e $dx=1/t$ per cui l'integrale diventa: $int 1/(1+t^4)dt$ ma questo nuovo integrale non riesco a risolverlo. Ho sbagliato la sostituzione?o come inizio è giusto? vi prego datemi una mano a risolverlo!!!

Come seconda cosa vorrei chiedervi una mano per un argomento un po' più facile, ovvero ricercare il dominio della funzione:
$log(sinx-cosx)$ ovviamente penso che si debba porre l'argomento del logaritmo maggiore di zero, e quindi $sinx-cosx>0$ da cui dividendo per cosx si ottiene l'equazione $tanx>1$ (giusto?) Da questa ottengo come soluzioni $pi/4+kpi

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Risposte

neopeppe89

3 set 2008, 12:58

come non detto...

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adaBTTLS1

3 set 2008, 13:07

$e^(2x) != e^2*e^x = e^(2+x)$.
troppo bello (per il probema) se fosse vero...
ciao.

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smile987-votailprof

3 set 2008, 19:51

ma figurati neopeppe!anzi ci hai provato!!!
Cmq diciamo che non è un integrale facilotto...spero che qualcosa del genere non capiti nel compito d'esame!
Adesso però vorrei chiedervi un'altra cosa...non so però se sarebbe il caso di creare un nuovo topic, ma x il momento la posto qui; si tratta dello studio di questa serie:
$sum_{n=1}^infty (e^(sin(1/n))-1)$
ho provato ad applicare qualche criterio con scarsi risultati, quindi ho pensato di confrontarla con qualche altra serie ma non so...Cosa mi consigliate?Premetto che nello studio delle serie non abibamo trattato quella teoria con gli o piccoli o qualcosa del genere (non so neanche cosa siano!) Grazie tante nuovamente

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neopeppe89

3 set 2008, 19:58

mmm...$sin(1/n)$ per n che tende a $oo$ è 0...quindi $e^(sin(1/n))$ tende a 1 e quindi la serie assume valori prossimi allo 0...sul resto taccio in quanto non penso d aver mai studiato quest'argomento e quindi rischierei d dire altre baggianate come per l'integrale !!ciaooo!!!

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adaBTTLS1

5 set 2008, 07:47

"MSword87":
$int e^x/(1+e^(4x))dx$
Ho provato ponendo $e^x=t$ e quindi $x=log t$ e $dx=1/t$ per cui l'integrale diventa: $int 1/(1+t^4)dt$ ma questo nuovo integrale non riesco a risolverlo. Ho sbagliato la sostituzione?o come inizio è giusto? vi prego datemi una mano a risolverlo!!!

riparto dalla forma razionale cui sei arrivato (che mi pare corretta), e scompongo ... dovevo arrivarci molto tempo fa, anche perché ci avevo pensato e poi ho accantonato subito!
$1+t^4=1+t^4+2t^2-2t^2=(1+t^2)^2-(sqrt(2)t)^2=(t^2-sqrt(2)t+1)*(t^2+sqrt(2)t+1)$
per cui con il metodo dei fratti semplici ottengo
$(A+Bt)/(t^2-sqrt(2)t+1)+(C+Dt)/(t^2+sqrt(2)t+1)=1/(t^4+1)$
ho ricavato (anche se l'ho fatto questa notte e non sono certa dei calcoli):
$A=1/2, B=-sqrt(2)/4, C=1/2, D=sqrt(2)/4$
e alla fine, dopo diversi passaggi, l'integrale:
$sqrt(2)/8*ln((t^2+sqrt(2)t+1)/(t^2-sqrt(2)t+1))+sqrt(2)/4*(arctg(sqrt(2)t-1)+arctg(sqrt(2)t+1))+K$
ora non ho tempo, però spero non ci sia bisogno di scrivere i passaggi... verifica la correttezza del procedimento. ciao.

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smile987-votailprof

5 set 2008, 17:41

Caspita! Complimenti davvero....finalmente hai risolto questo dubbio atroce che stava per rimanere avvolto nell'oblio eheheheh! Penso sia tutto corretto, comunque proverò a rifarlo anche io vediamo cosa spunta, ma penso sia corretto! grazie grazie e grazie ancora!

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adaBTTLS1

5 set 2008, 17:50

prego... e grazie per i complimenti!

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neopeppe89

5 set 2008, 17:52

eh si...davvero complimentoni....non so se c'avrei mai pensato...intendo studiandolo ininterrottamente x 2/3anni!!!:lol:

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adaBTTLS1

5 set 2008, 18:10

grazie.
oggi abbiamo avuto una riunione a scuola (di dipartimento, quindi eravamo insieme tutti matematici e fisici...)
pare che si fossero messi tutti d'accordo: "ognuno" [non esattamente, ma diversi di noi] aveva un quesito da proporre.
ad un certo punto ho anch'io tirato fuori quest'integrale... perché francamente un po' "mi rodeva" il fatto di averlo risolto solo dopo tanto tempo nonostante abbia usato una "tecnica standard", ed un po' per sentire pareri su soluzioni alternative.
c'è almeno un altro topic aperto in questo forum in questo periodo (anche se non ricordo in quale sezione) che mi ha spinto a cercare maggiori informazioni in direzione dei numeri complessi, e quindi mi ha riportato a possibili scomposizioni di "questo" binomio diverse da quella usata qui.
in effetti, un collega mi ha detto che lui sarebbe partito dai complessi, ed il procedimento alternativo, nonostante faccia intravedere subito la "forma" della soluzione, di fatto ripropone successivamente tutte "le stesse noie di calcolo" (ed anche qualche altro problema in più) che con il metodo usato da me si affrontano subito ma in compenso poi la strada è spianata...
che cosa ne pensate?
ciao.

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neopeppe89

5 set 2008, 18:34

decisamente il suo metodo è migliore...il problema però,molto spesso è "vedere" queste cose!!ecco. cosa distingue i Matematici dai matematici...

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adaBTTLS1

5 set 2008, 19:21

"suo"... di chi? quale?

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neopeppe89

6 set 2008, 09:21

"suo"--->"tuo"

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smile987-votailprof

6 set 2008, 13:51

Bè si penso che sia più pratico il metodo che hai illustrato tu. Io comunque ammetto che non penso che sarei mai e poi mai arrivata a una risoluzione di questo integrale, se non prima forse di qualche anno eheheh!

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[neopeppe89]

come non detto...

[adaBTTLS1]

$e^(2x) != e^2*e^x = e^(2+x)$.
troppo bello (per il probema) se fosse vero...
ciao.

[smile987-votailprof]

ma figurati neopeppe!anzi ci hai provato!!!
Cmq diciamo che non è un integrale facilotto...spero che qualcosa del genere non capiti nel compito d'esame!
Adesso però vorrei chiedervi un'altra cosa...non so però se sarebbe il caso di creare un nuovo topic, ma x il momento la posto qui; si tratta dello studio di questa serie:
$sum_{n=1}^infty (e^(sin(1/n))-1)$
ho provato ad applicare qualche criterio con scarsi risultati, quindi ho pensato di confrontarla con qualche altra serie ma non so...Cosa mi consigliate?Premetto che nello studio delle serie non abibamo trattato quella teoria con gli o piccoli o qualcosa del genere (non so neanche cosa siano!) Grazie tante nuovamente

[neopeppe89]

mmm...$sin(1/n)$ per n che tende a $oo$ è 0...quindi $e^(sin(1/n))$ tende a 1 e quindi la serie assume valori prossimi allo 0...sul resto taccio in quanto non penso d aver mai studiato quest'argomento e quindi rischierei d dire altre baggianate come per l'integrale !!ciaooo!!!

[adaBTTLS1]

"MSword87":
$int e^x/(1+e^(4x))dx$
Ho provato ponendo $e^x=t$ e quindi $x=log t$ e $dx=1/t$ per cui l'integrale diventa: $int 1/(1+t^4)dt$ ma questo nuovo integrale non riesco a risolverlo. Ho sbagliato la sostituzione?o come inizio è giusto? vi prego datemi una mano a risolverlo!!!

riparto dalla forma razionale cui sei arrivato (che mi pare corretta), e scompongo ... dovevo arrivarci molto tempo fa, anche perché ci avevo pensato e poi ho accantonato subito!
$1+t^4=1+t^4+2t^2-2t^2=(1+t^2)^2-(sqrt(2)t)^2=(t^2-sqrt(2)t+1)*(t^2+sqrt(2)t+1)$
per cui con il metodo dei fratti semplici ottengo
$(A+Bt)/(t^2-sqrt(2)t+1)+(C+Dt)/(t^2+sqrt(2)t+1)=1/(t^4+1)$
ho ricavato (anche se l'ho fatto questa notte e non sono certa dei calcoli):
$A=1/2, B=-sqrt(2)/4, C=1/2, D=sqrt(2)/4$
e alla fine, dopo diversi passaggi, l'integrale:
$sqrt(2)/8*ln((t^2+sqrt(2)t+1)/(t^2-sqrt(2)t+1))+sqrt(2)/4*(arctg(sqrt(2)t-1)+arctg(sqrt(2)t+1))+K$
ora non ho tempo, però spero non ci sia bisogno di scrivere i passaggi... verifica la correttezza del procedimento. ciao.

[smile987-votailprof]

Caspita! Complimenti davvero....finalmente hai risolto questo dubbio atroce che stava per rimanere avvolto nell'oblio eheheheh! Penso sia tutto corretto, comunque proverò a rifarlo anche io vediamo cosa spunta, ma penso sia corretto! grazie grazie e grazie ancora!

[adaBTTLS1]

prego... e grazie per i complimenti!

[neopeppe89]

eh si...davvero complimentoni....non so se c'avrei mai pensato...intendo studiandolo ininterrottamente x 2/3anni!!!:lol:

[adaBTTLS1]

grazie.
oggi abbiamo avuto una riunione a scuola (di dipartimento, quindi eravamo insieme tutti matematici e fisici...)
pare che si fossero messi tutti d'accordo: "ognuno" [non esattamente, ma diversi di noi] aveva un quesito da proporre.
ad un certo punto ho anch'io tirato fuori quest'integrale... perché francamente un po' "mi rodeva" il fatto di averlo risolto solo dopo tanto tempo nonostante abbia usato una "tecnica standard", ed un po' per sentire pareri su soluzioni alternative.
c'è almeno un altro topic aperto in questo forum in questo periodo (anche se non ricordo in quale sezione) che mi ha spinto a cercare maggiori informazioni in direzione dei numeri complessi, e quindi mi ha riportato a possibili scomposizioni di "questo" binomio diverse da quella usata qui.
in effetti, un collega mi ha detto che lui sarebbe partito dai complessi, ed il procedimento alternativo, nonostante faccia intravedere subito la "forma" della soluzione, di fatto ripropone successivamente tutte "le stesse noie di calcolo" (ed anche qualche altro problema in più) che con il metodo usato da me si affrontano subito ma in compenso poi la strada è spianata...
che cosa ne pensate?
ciao.

[neopeppe89]

decisamente il suo metodo è migliore...il problema però,molto spesso è "vedere" queste cose!!ecco. cosa distingue i Matematici dai matematici...

[adaBTTLS1]

"suo"... di chi? quale?

[neopeppe89]

"suo"--->"tuo"

[smile987-votailprof]

Bè si penso che sia più pratico il metodo che hai illustrato tu. Io comunque ammetto che non penso che sarei mai e poi mai arrivata a una risoluzione di questo integrale, se non prima forse di qualche anno eheheh!