Aiuto per risolvere una equazione differenziale di secondo ordine non omogenea

[nasmil]

Salve, volevo un consiglio per risolvere questa equazione differenziale:

$ y''+2y'+5y = e^(-x) sen2x + e^x cosx $

Per risolvere le equazioni differenziali conosco due metodi: quello di Lagrange (dove uso il Wronskiano) e quello, di cui non conosco il nome, in cui creano dei coefficienti a seconda del polinomio che troviamo nell'equazione, si svolgono le derivate e si sostituiscono all'interno dopodiché si risolve un sistema lineare.

Per questo tipo di equazione il primo metodo (trovare il Wronskiano, usare il metodo di Lagrange) non mi sembra adatto; per il secondo invece si:
il mio problema sta nel fatto che non so come fare a risolverlo, da dove devo partire? Potete darmi una mano su come impostare il tutto?

Prima trovo le radici (complesse in questo caso) dell'omogenea associata, dopodiché come posso impostare i coefficienti da trovare?

[mazzarri1]

ciao Nasmil!!

Provo ad aiutarti io, spero di non dire cavolate, è tanto che non ne risolvo

Allora anzitutto la omogenea associata

$k^2+2k+5=0$

che come avrai già visto ha soluzioni

$k=-1+-2i$

Quindi la prima parte di soluzione è

$y(x)=e^-x(c_1 cos 2x +c_2 sin 2x)$

Adesso viene il difficile... a destra del segno di uguale, al secondo membro cioè della equazione differenziale di partenza, conta di avere un oggetto che sarà sempre del tipo

$e^(ax) P(x) cos (bx)$ (oppure $sin(bx)$ )

cioè un prodotto di una esponenziale per un polinomio per un coseno (o un seno)... se non fosse così... ahia... ahia... rivolgiti ai veri esperti ma mi sa che altri casi non sono menzionati ai poveri mortali...

Il tuo caso infatti è proprio di questo tipo... ma è la somma di due quantità per cui daremo ancora DUE soluzioni aggiuntive... comunque ne convieni che entrambi gli oggetti sono del tipo indicato (qui per fortuna almeno $P(x)=1$)

Ora considera il numero $z=a+ib$ e vedi quanto vale... nel nostro caso abbiamo (per i due oggetti al secondo membro)

$z_1=-1+2i$
$z_2=1+i$

guarda caso $z_1$ coincide con una delle soluzioni di prima della omogenea, con molteplicità pari a $1$... invece $z_2$ non è una delle soluzioni della omogenea (molteplicità quindi pari a $0$)

Adesso le soluzioni aggiuntive che scriveremo saranno della forma

$y*=x^m e^(ax) (Q_1(x) cos bx + Q_2(x) sin bx)$

dove $m$ è la molteplicità del numero $z$ (nel nostro caso $m$ vale prima $1$ poi $0$) e i $Q(x)$ sono generici polinomi di grado pari a $P(x)$ (nel nostro caso entrambi di grado zero quindi delle costanti (da determinare purtroppo!!!))

Per fartela breve dimmi se sbaglio aggiungiamo due soluzioni particolari che saranno

$y_1*=x e^(-x) (A cos 2x + B sin 2x)$

$y_2*= e^x (C cos x + D sin x)$

adesso ti resta da trovare i valori di A,B,C,D... posso dirti che non ho voglia di buttarmi nei calcoli? Li lascio a te... ti indico come fare... per trovare $A$ e $B$ devi derivare $y_1*$... due volte... poi sostituirli nella equazione di partenza (quella che hai scritto tu) perchè le soluzioni particolari devono soddisfare la generale... quindi dovrai porre

$(y_1*)''+2(y_1*)'+5(y_1*)=e^(-x) sin 2x$

e da qui determinare $A$ e $B$

fallo tu e controlla il risultato

poi stessa cosa per determinare $C$ e $D$

è una roba lunga... ore di calcoli

spero di essere stato chiaro... perdona eventuali errori ti ripeto è tanto che non mi ci metto...

ciao!!

[mazzarri1]

Sono sempre io.. apro un secondo post per mettere i calcoli che ho provato a fare per la SECONDA PARTE soltanto, quella relativa a $y_2*$

Abbiamo

$(y_2*)'=Ce^x(cosx -sinx)+De^x(cosx+sinx)$

$(y_2*)''=2e^x(Dcosx-Csinx)$

Sostituendo nella generale

$(y_2*)''+2(y_2*)'+5(y_2*)=e^x cosx$

otteniamo omettendo alcuni conti

$e^x cosx (4D+7C) + e^x sinx (7D-4C)=e^x cosx$

abbiamo allora il sistema

${(4D+7C=1),(7D-4C=0):}$

che fornisce i risultati

${(C=7/65),(D=4/65):}$

in definitiva la seconda soluzione particolare sarà

$y_2*= e^x (7/65 cosx + 4/65 sinx)$

la prima non la faccio.. perdona... fallo tu...

In definitiva avrai come soluzione finale

$y(x)=e^-x (c_1cos2x+c_2 sin2x)+e^x (7/65 cosx + 4/65 sinx)+y_1*$

ciao!