Aiuto per risolvere un limite
Salve ragazzi! 
Chiedo aiuto per questo limite che non riesco a risolvere, mi trovo sempre la forma 0/0:
$ limx->0 (log(cos^2x-4cosx+4) arcos(tgx))/(cos(x+pi/3)*tg((4pix^2)/(x+4)) $
Grazie mille in anticipo!
Chiedo aiuto per questo limite che non riesco a risolvere, mi trovo sempre la forma 0/0: $ limx->0 (log(cos^2x-4cosx+4) arcos(tgx))/(cos(x+pi/3)*tg((4pix^2)/(x+4)) $
Grazie mille in anticipo!
Risposte
Basta utilizzare un po' di limiti notevoli (o se preferisci di confronti fra infinitesimi):
Per $ x \to 0$:
\[ \begin{cases}
\ln (\cos^2(x) - 4 \cos (x) + 4) = \ln ( 1 + (cos^2(x) - 4 \cos (x) + 3)) \sim cos^2(x) - 4 \cos (x) + 3 \\
\tan ( \frac {4 \pi x^2}{x + 4}) \sim \frac {4 \pi x^2}{x + 4} \end{cases} \]
Inoltre
\[ \lim_{x \to 0} {\frac{ \arccos (\tan(x))}{ \cos (x + \frac{\pi}{3})}}= \pi \]
metti tutto insieme e vedi cosa esce fuori
Per $ x \to 0$:
\[ \begin{cases}
\ln (\cos^2(x) - 4 \cos (x) + 4) = \ln ( 1 + (cos^2(x) - 4 \cos (x) + 3)) \sim cos^2(x) - 4 \cos (x) + 3 \\
\tan ( \frac {4 \pi x^2}{x + 4}) \sim \frac {4 \pi x^2}{x + 4} \end{cases} \]
Inoltre
\[ \lim_{x \to 0} {\frac{ \arccos (\tan(x))}{ \cos (x + \frac{\pi}{3})}}= \pi \]
metti tutto insieme e vedi cosa esce fuori
Grazie mille per avermi risposto! Però non capisco cosa hai scritto in quel "sistema". La seconda parte per fortuna me la trovo anche io, ma poi ritorno sempre a 0/0 :/ Grazie ancora!
Due funzioni $f(x)$ e $g(x)$ si dicono asintotiche per $x \to x_0$ se
\[ \lim_{x \to x_0} {\frac{f(x)}{g(x)}} = 1 \]
e si scrive
\[ f(x) \sim g(x) \]
Se due funzioni sono asintotiche per $ x \to x_0$, puoi "sostituire" l'una con l'altra nei limiti in questo modo:
\[ \lim_{x \to x_0} { f(x)} = \lim_{ x \to x_0} {\frac{ f(x)}{g(x)} g(x)} = 1 \cdot \lim_{x \to x_0} {g(x)} \]
Bisogna tenere a mente che non si tratta di una sostituzione, ma di un "trucco" che sfrutta il fatto che il limite di un prodotto è il prodotto dei limiti. Va usato con molta cautela.
Ciò che ho messo nella parentesi graffa sono delle stime asintotiche, basate su ciò che ho appena detto.
\[ \lim_{x \to x_0} {\frac{f(x)}{g(x)}} = 1 \]
e si scrive
\[ f(x) \sim g(x) \]
Se due funzioni sono asintotiche per $ x \to x_0$, puoi "sostituire" l'una con l'altra nei limiti in questo modo:
\[ \lim_{x \to x_0} { f(x)} = \lim_{ x \to x_0} {\frac{ f(x)}{g(x)} g(x)} = 1 \cdot \lim_{x \to x_0} {g(x)} \]
Bisogna tenere a mente che non si tratta di una sostituzione, ma di un "trucco" che sfrutta il fatto che il limite di un prodotto è il prodotto dei limiti. Va usato con molta cautela.
Ciò che ho messo nella parentesi graffa sono delle stime asintotiche, basate su ciò che ho appena detto.
Osservando che $(cos^2 (x)-4cosx+4)=(2-cosx)^2$, e sostituendo si ha :
$lim_(x->0)(log (2-cosx)^2×cos^(-1)(x))/(cos (x+pi/3)×tan ((4x^2pi)/(x+4))$
$log (2-cosx)^2=2log (2-cosx)=2log (1+(1-cosx))~2(1-cosx) $
$tan ((4x^2pi)/(x+4))~x^2pi $
$cos(0+pi/3)=cos (pi/3)=1/2$
$cos^(-1)(x)=cos^(-1)(0)=pi/2$
Sostituendo, infine avremo:
$lim_(x->0 )(2×(1-cosx)×(pi/2))/(x^2pi×1/2) $ $=lim_(x->0)(1-cosx)/x $
Quindi ancora una forma $0/0$, ma:
$(1-cosx )~x^2/2$ pertanto avremo
$lim_(x->0)(2(x^2/2)×(pi)/2)/(x^2pi/2) $ $=lim_(x->0)(2(x^2/2))/x^2=1$
che dovrebbe essere il valore esatto del limite.
$lim_(x->0)(log (2-cosx)^2×cos^(-1)(x))/(cos (x+pi/3)×tan ((4x^2pi)/(x+4))$
$log (2-cosx)^2=2log (2-cosx)=2log (1+(1-cosx))~2(1-cosx) $
$tan ((4x^2pi)/(x+4))~x^2pi $
$cos(0+pi/3)=cos (pi/3)=1/2$
$cos^(-1)(x)=cos^(-1)(0)=pi/2$
Sostituendo, infine avremo:
$lim_(x->0 )(2×(1-cosx)×(pi/2))/(x^2pi×1/2) $ $=lim_(x->0)(1-cosx)/x $
Quindi ancora una forma $0/0$, ma:
$(1-cosx )~x^2/2$ pertanto avremo
$lim_(x->0)(2(x^2/2)×(pi)/2)/(x^2pi/2) $ $=lim_(x->0)(2(x^2/2))/x^2=1$
che dovrebbe essere il valore esatto del limite.
"francicko":
Osservando che $(cos^2 (x)-4cosx+4)=(2-cosx)^2$, e sostituendo si ha :
$lim_(x->0)(log (2-cosx)^2×cos^(-1)(x))/(cos (x+pi/3)×tan ((4x^2pi)/(x+4))$
$log (2-cosx)^2=2log (2-cosx)=2log (1+(1-cosx))~2(1-cosx) $
$tan ((4x^2pi)/(x+4))~4x $
$cos(0+pi/3)=cos (pi/3)=1/2$
$cos^(-1)(x)=cos^(-1)(0)=pi/2$
Sostituendo, infine avremo:
$lim_(x->0 )(2×(1-cosx)×(pi/2))/(4x×1/2) $ $=lim_(x->0)(1-cosx)/x $
Quindi ancora una forma $0/0$, ma:
$(1-cosx )~x^2/2$ pertanto avremo
$lim_(x->0)(x^2/2)/x $ $=lim_(x->0)x/2=0$
che dovrebbe essere il valore esatto del limite.
Sono d'accordo sul quadrato, ma c'è un errore (e di fatto il risultato è sbagliato):
\[ \tan (\frac{4\pi x^2}{x + 4}) \sim \frac{4 \pi x^2}{x + 4} \sim \pi x^2 \]
Sostituendo questo nel limite, viene il risultato corretto, cioè $1$.
Hai ragione!
Ho corretto il post adesso dovrebbe andar bene, non so perche' avevo scritto male l'asintotico della tangente, probabilmente ho considerato $x=infty $ invece di $x=0$☺
Ho corretto il post adesso dovrebbe andar bene, non so perche' avevo scritto male l'asintotico della tangente, probabilmente ho considerato $x=infty $ invece di $x=0$☺
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