Aiuto per risolvere un banale integrale

[carlo1983]

Ciao a tutti. Mi trovo di fronte ad un integrale banale che voglio risolvere con il metodo della sostituzione. L'integrale è:

$int(1/(sqrt(x)-1))dx$

Ho pensato di fare $sqrt(x) = t$ (credo sia una sostituzione "lecita", o non è possibile sostituirlo?), quindi ho: $2*t dt = dx$ (credo e spero che sia giusto fin qui). Sostituendo ho:

$int((2*t)/(t-1) dt)$

Porto il 2 fuori dall' integrale ed ho:

$2* int(t/(t-1) dt)$ ==> Aggiungo e sottraggo 1 ed ho ==> $2* int((t-1+1)/(t-1) dt)$

Spezzo in due l'integrale avendo: $2*(int((t-1)/(t-1) dt) + int(1/(t-1) dt)$ e quindi ho:

$2*(t + log(t-1))$ che equivale sostituendo a $2*(sqrt(x))+2*log(sqrt(x)-1) + c$ che è certamente sbagliato.

Spero vogliate correggermi indicandomi l'errore, e non utilizzare sostituzioni diverse o altri metodi. Grazie.

[j18eos]

Infatti: l'argomento del logaritmo deve essere in valore assoluto!

[carlo1983]

Già, il logaritmo va in valore assoluto, ma cosa mi cambia? Per favore spiegati meglio, grazie.

Il risultato giusto dovrebbe essere:

$2(sqrt(x)-1) + 2log(sqrt(x)-1)$

[j18eos]

Ma hai qualche condizione extra? Comunque basta scegliere [tex]$c=-2$[/tex] per avere il tuo risultato!

Ti ricordo che il logaritmo in base naturale è definito per argomenti positivi mentre la sua derivata non è definita in 0; facci prima caso e poi calcola la derivata di [tex]$\log|x|$[/tex]!

[carlo1983]

Il problema è che non ho nessuna restrizione, ma facendo poi la derivata del risultato giusto ottengo l'integrale di partenza (corretto), mentre se la calcolo sul mio risultato non ho lo stesso risultato (sbagliato). Il risultato l'ho calcolato mille volte al computer e credo fortemente sia corretto, il mio invece no. Per quel che riguarda il logaritmo ti ringrazio, ma non so ancora il risultato corretto da dove esca fuori.

[edge1]

Non è vero il risultato è ok! Differisce solo di una $K$ che derivando stira il calzino

[carlo1983]

Sono di una imbecillità unica, vi ringrazio, ovviamente avevate ragione voi, il fatto era che calcolando la derivata al computer la sbagliavo a scrivere. E' bello sapere che alcune tue piccole certezze sono certe per l'appunto

[j18eos]

Tra imbecilli ci si capisce!

Prego, torna pure a chiedere altre imbecillità!