Aiuto per risoluzione limite
Salve a tutti, vorrei chiedervi un aiuto su come risolvere un limite che mi sta facendo penare non poco
$ (e^(sen^2(x))-1/sqrt(1-2x^2))/((x^3+4x^4)log(1+7x)) $
il limite tende a 0+ (scusate ma è la prima volta che scrivo e non sono ancora molto pratico)
ho usato gli sviluppi di taylor per rendere la funzione più digeribile ma forse ho fatto degli errori.
$ ((e^(x^2)-1/sqrt(1-2x^2))/((x^3+4x^4)7x))((e^(x^2)+1/sqrt(1-2x^2))/(e^(x^2)+1/sqrt(1-2x^2))) $
ottenendo
$ ((e^(x^4)-1/(1-2x^2))/((x^3+4x^4)7x*(e^(x^2)+1/sqrt(1-2x^2)))) $
$ (x^4+1-1/(1-2x^2))/((x^3+4x^4)7x*(e^(x^2)+1/sqrt(1-2x^2))) $
$ (-2x^6+x^4-2x^2)/((x^3+4x^4)7x*(e^(x^2)+1/sqrt(1-2x^2))) $
e cercando di abbassare il grado
$ (-2x^4+x^2-2)/((1+4x)7x^2*(e^(x^2)+1/sqrt(1-2x^2))) $
adesso, avendo il numeratore diverso da zero, pensavo che il limite tendesse a meno infinito ma non è il risultato giusto..
Sicuramente ho sbagliato qualche passaggio ma vi sarei davvero grato se poteste darmi una mano a risolverlo.
Vi ringrazio in anticipo per la disponibiltà!!
$ (e^(sen^2(x))-1/sqrt(1-2x^2))/((x^3+4x^4)log(1+7x)) $
il limite tende a 0+ (scusate ma è la prima volta che scrivo e non sono ancora molto pratico)
ho usato gli sviluppi di taylor per rendere la funzione più digeribile ma forse ho fatto degli errori.
$ ((e^(x^2)-1/sqrt(1-2x^2))/((x^3+4x^4)7x))((e^(x^2)+1/sqrt(1-2x^2))/(e^(x^2)+1/sqrt(1-2x^2))) $
ottenendo
$ ((e^(x^4)-1/(1-2x^2))/((x^3+4x^4)7x*(e^(x^2)+1/sqrt(1-2x^2)))) $
$ (x^4+1-1/(1-2x^2))/((x^3+4x^4)7x*(e^(x^2)+1/sqrt(1-2x^2))) $
$ (-2x^6+x^4-2x^2)/((x^3+4x^4)7x*(e^(x^2)+1/sqrt(1-2x^2))) $
e cercando di abbassare il grado
$ (-2x^4+x^2-2)/((1+4x)7x^2*(e^(x^2)+1/sqrt(1-2x^2))) $
adesso, avendo il numeratore diverso da zero, pensavo che il limite tendesse a meno infinito ma non è il risultato giusto..
Sicuramente ho sbagliato qualche passaggio ma vi sarei davvero grato se poteste darmi una mano a risolverlo.
Vi ringrazio in anticipo per la disponibiltà!!
Risposte
Il valore del limite è finito, $-1/7$.
Io ho provato intanto a semplificarlo con gli asintotici, dato che siamo nell'intorno di $x=0$, posso riscrivere il limite nella forma $lim_(x->0)(e^(x^2)-1/(sqrt(1-2x^2)))/((x^3+4x^4)(7x))$, usando gli sviluppi in serie di taylor abbiamo $lim_(x->0)((1+x^2+x^4/2+o(x^6))-(1+x^2+3x^4/2+o(x^6)))/(7x^4+28x^5)=lim_(x->0)-x^4/(7x^4)=-1/7$,
Io ho provato intanto a semplificarlo con gli asintotici, dato che siamo nell'intorno di $x=0$, posso riscrivere il limite nella forma $lim_(x->0)(e^(x^2)-1/(sqrt(1-2x^2)))/((x^3+4x^4)(7x))$, usando gli sviluppi in serie di taylor abbiamo $lim_(x->0)((1+x^2+x^4/2+o(x^6))-(1+x^2+3x^4/2+o(x^6)))/(7x^4+28x^5)=lim_(x->0)-x^4/(7x^4)=-1/7$,
Con Wolfram Aplpha mi da $ -4/21$. Comunque ho provato anch'io con quella strada ma a quel punto non so più come proseguire..
Ho modificato il messaggio, non bisogna usare l'asintotico per il termine $sqrt(1-2x^2)$ in quanto altera lo sviluppo in serie del termine $1/(sqrt(1-2x^2))$, per il resto il risultato è giusto , quindi il valore del limite è $-1/7$, se il limite è questo :
$lim_(x->0)(e^(x^2)-1/(sqrt(1-2x^2)))/((x^3+4x^4)log(1+7x))$, prova a ricontrollare con wolfram!
$lim_(x->0)(e^(x^2)-1/(sqrt(1-2x^2)))/((x^3+4x^4)log(1+7x))$, prova a ricontrollare con wolfram!
Comunque il procedimento che all'inizio hai adottato è giusto, l'eliminazione della radice a numeratore, comporta un vantaggio, permette di riconoscere lo sviluppo di un termine come serie geometrica, e ciò agevola i calcoli.
$(e^(x^2)-1/(sqrt(1-2x^2)))xx(e^(x^2)+1/(sqrt(1-2x^2)))=e^(2x^2)-1/(1-2x^2)$, l'errore che hai commesso sta nel fatto che hai scritto erroneamente $(e^(x^2))^2=e^(x^4)$ invece di $e^(2x^2)$, pertanto il limite diventa:
$lim_(x->0)(e^(2x^2)-1/(1-2x^2))/((x^3+4x^4)(7x)(e^(x^2)+1/(sqrt(1-2x^2)))$, ora a numeratore essendoci una differenza di infinitesimi che coinvolge termini successivi al $2°$, dobbiamo sviluppare in serie il termine $e^(2x^2)$ il cui sviluppo sappiamo essere $(1+2x^2+2x^4+o(x^6))$, ed il termine $1/(1-2x^2)$ il cui sviluppo è una serie geometrica di ragione $2x^2$, cioè $(1+2x^2+4x^4+o(x^6))$, avremo quindi ,
$lim_(x->0) (1+2x^2+2x^4+o(x^6)-1-2x^2-4x^4-o(x^6))/((x^3+4x^4)(7x)(1+1))=lim_(x->0)(-2x^4)/(2xx(7x^4))=lim_(x->0)(-x^4)/(7x^4)=-1/7$, che è sicuramente il risultato esatto del limite
$(e^(x^2)-1/(sqrt(1-2x^2)))xx(e^(x^2)+1/(sqrt(1-2x^2)))=e^(2x^2)-1/(1-2x^2)$, l'errore che hai commesso sta nel fatto che hai scritto erroneamente $(e^(x^2))^2=e^(x^4)$ invece di $e^(2x^2)$, pertanto il limite diventa:
$lim_(x->0)(e^(2x^2)-1/(1-2x^2))/((x^3+4x^4)(7x)(e^(x^2)+1/(sqrt(1-2x^2)))$, ora a numeratore essendoci una differenza di infinitesimi che coinvolge termini successivi al $2°$, dobbiamo sviluppare in serie il termine $e^(2x^2)$ il cui sviluppo sappiamo essere $(1+2x^2+2x^4+o(x^6))$, ed il termine $1/(1-2x^2)$ il cui sviluppo è una serie geometrica di ragione $2x^2$, cioè $(1+2x^2+4x^4+o(x^6))$, avremo quindi ,
$lim_(x->0) (1+2x^2+2x^4+o(x^6)-1-2x^2-4x^4-o(x^6))/((x^3+4x^4)(7x)(1+1))=lim_(x->0)(-2x^4)/(2xx(7x^4))=lim_(x->0)(-x^4)/(7x^4)=-1/7$, che è sicuramente il risultato esatto del limite
Se magari qualcuno vuol controllare, che non ci siano errori.
grazie!
grazie!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo