Aiuto per risoluzione integrale indefinito

Antonino2010
Salve a tutti! Purtroppo sto riscontrando una certa difficoltà nel risolvere un integrale indefinito che ho tra gli esercizi. Ho già cercato ampiamente in rete ma non trovo nulla. L'integrale è il seguente:

$int (arctan^2 x - arctan x)/(1 + x^2)\ "d"x$

Spero qualcuno possa aiutarmi perché è da un po' che ci sto dietro e non riesco a capire come risolverlo!
Grazie in anticipo

Risposte
gugo82
L'integrazione per sostituzione ti dice che:

$int f(g(x))\ g^\prime (x)\ "d"x = int f(t)\ "d" t |_(t=g(x))$ $= F(t) + C|_(t=g(x)) = F(g(x)) + C$...

Nel tuo caso, puoi ricondurre tutto nella forma dell'integrale al primo membro? Chi è $f$? Chi è $g$?

pilloeffe
Ciao Antonino2010,

Benvenuto sul forum!
"Antonino2010":
Spero qualcuno possa aiutarmi perché è da un po' che ci sto dietro e non riesco a capire come risolverlo!

Mah, mi pare molto semplicemente la differenza di due integrali immediati:

$\int (arctan^2 x - arctan x)/(1 + x^2)\text{d}x = \int arctan^2 x \cdot 1/(1 + x^2) \text{d}x - \int arctan x \cdot 1/(1 + x^2) \text{d}x $

Gli ultimi due integrali scritti sono immediati perché sono del tipo seguente:

$\int [f(x)]^a f'(x) \text{d}x = [f(x)]^{a + 1}/(a + 1) + c $

ove $a = 2 $ per il primo integrale, $a = 1 $ per il secondo.

Antonino2010
Grazie infinite ad entrambi! Effettivamente non avevo ricondotto a separare il tutto in una somma di integrali, ne avevo pensato alla sostituzione da subito! Grazie ancora!

Antonino2010
Salve nuovamente! Scrivo qui per evitare di aprire un nuovo topic.. Ho un altro problema con un integrale definito, la funzione in questione è:

$ int_4^5 ( log(x^2 + 1)) / (x - 2)^2\ "d"x$

Il vero problema mi viene nell’integrare la funzione per trovarne la primitiva, se poteste aiutarmi ve ne sarei grato!

gugo82
Integrando per parti con fattore differenziale $1/(x-2)^2$ dovresti ricondurre tutto a roba da fratti semplici.
Prova.

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