Aiuto per ricavare il valore della x nell'equazione
Salve a tutti,
sono uno studente al quinto anno delle superiori e, per mia cultura personale, vorrei capire com'è possibile ricavare il valore della x dalla seguente equazione:
\[\frac{C!}{(C-x)!C^x}=\frac{1}{2} \]
I valori di \(C \) sono noti e vanno da \(2^{16}\) fino a \(2^{512}\).
Sono riuscito a trovare su Internet i seguenti risultati (approssimati):
\(C=2^{16}\) \(x=300\)
\(C=2^{32}\) \(x=77000\)
\(C=2^{64}\) \(x=5,1*10^9\)
\(C=2^{128}\) \(x=2,2*10^{19}\)
\(C=2^{256}\) \(x=4,0*10^{38}\)
\(C=2^{512}\) \(x=1,4*10^{77}\)
Solo per \(C=2^{16}\) riesco a ricavare il valore della \(x \) utilizzando la funzione solve di wolfram alpha ma non riesco a capire come sia possibile ottenere gli altri risultati.
Scusate se magari posso aver esposto il mio problema in una dicitura non prettamente matematica.
Grazie a tutti per l'aiuto e l'attenzione.
sono uno studente al quinto anno delle superiori e, per mia cultura personale, vorrei capire com'è possibile ricavare il valore della x dalla seguente equazione:
\[\frac{C!}{(C-x)!C^x}=\frac{1}{2} \]
I valori di \(C \) sono noti e vanno da \(2^{16}\) fino a \(2^{512}\).
Sono riuscito a trovare su Internet i seguenti risultati (approssimati):
\(C=2^{16}\) \(x=300\)
\(C=2^{32}\) \(x=77000\)
\(C=2^{64}\) \(x=5,1*10^9\)
\(C=2^{128}\) \(x=2,2*10^{19}\)
\(C=2^{256}\) \(x=4,0*10^{38}\)
\(C=2^{512}\) \(x=1,4*10^{77}\)
Solo per \(C=2^{16}\) riesco a ricavare il valore della \(x \) utilizzando la funzione solve di wolfram alpha ma non riesco a capire come sia possibile ottenere gli altri risultati.
Scusate se magari posso aver esposto il mio problema in una dicitura non prettamente matematica.
Grazie a tutti per l'aiuto e l'attenzione.
Risposte
Non vorrei dire una scemenza, ma non mi sembra sia ricavabile esplicitamente la $x$ da quell'espressione.
Sicuramente interverrà in modo migliore qualcun altro
Intato ti dico come farei io.
Potresti porre $f(x):=\frac{C!}{(C-x)!C^x} $ e studiare qualitativamente la funzione di una sola variabile, visto che $C$ è noto. In particolare $C!$ e $C^x$ sono quantità sempre positive per ogni $x$ reale.
Il problema lo può creare $(C-x)!$ che è negativo per $x>C$, vale $1$ per $x=C$ ed è positovo per $xC$ l'equazione non ammette soluzione perché $1/2$ è positivo.
Altriementi definisci $g:=f(x)-1/2=\frac{C!}{(C-x)!C^x} - 1/2 $ e cerchi le soluzioni dell'equazione $g(x)=0$.
Per farlo usa un qualsiasi metodo numerico. Visto che sei alle superiori potresti aver fatto il metodo di Newton, solo che dovresti implementarlo al calcolatore...
Sicuramente interverrà in modo migliore qualcun altro
Intato ti dico come farei io.Potresti porre $f(x):=\frac{C!}{(C-x)!C^x} $ e studiare qualitativamente la funzione di una sola variabile, visto che $C$ è noto. In particolare $C!$ e $C^x$ sono quantità sempre positive per ogni $x$ reale.
Il problema lo può creare $(C-x)!$ che è negativo per $x>C$, vale $1$ per $x=C$ ed è positovo per $x
Altriementi definisci $g:=f(x)-1/2=\frac{C!}{(C-x)!C^x} - 1/2 $ e cerchi le soluzioni dell'equazione $g(x)=0$.
Per farlo usa un qualsiasi metodo numerico. Visto che sei alle superiori potresti aver fatto il metodo di Newton, solo che dovresti implementarlo al calcolatore...
Ciao e grazie mille per l'attenzione che mi hai dedicato.
Ho dato un'occhiata al metodo di Newton che però non ho studiato. Potrei implementarlo al calcolatore, ho anche trovato un codice adatto solo che, e mi vergogno a dirlo, non riesco nemmeno a trovare la derivata prima di tale funzione!
Comunque grazie al tuo intervento ho trovato una formula che approssima il valore della x: \[x=\sqrt{2*C*ln(\frac{1}{1-0,5})}\]
Naturalmente non ho la minima idea di come sia stata ricavata questa formula pertanto ciò non risolve il problema!
Grazie ancora.
Ho dato un'occhiata al metodo di Newton che però non ho studiato. Potrei implementarlo al calcolatore, ho anche trovato un codice adatto solo che, e mi vergogno a dirlo, non riesco nemmeno a trovare la derivata prima di tale funzione!
Comunque grazie al tuo intervento ho trovato una formula che approssima il valore della x: \[x=\sqrt{2*C*ln(\frac{1}{1-0,5})}\]
Naturalmente non ho la minima idea di come sia stata ricavata questa formula pertanto ciò non risolve il problema!
Grazie ancora.
La derivata di $(C-x)!$ non è affatto banale e non la so risolvere nemmeno io. Per questo la risoluzione numerica mi sembrava l'unica strada, ma trovando quella formula... a proposito, dove l'hai trovata?
Grazie comunque. Sei stato molto gentile.
La formula l'ho trovata qui https://en.wikipedia.org/wiki/Birthday_problem#Cast_as_a_collision_problem e forse poco più in alto viene data una spiegazione ma per me è aramaico!
La formula l'ho trovata qui https://en.wikipedia.org/wiki/Birthday_problem#Cast_as_a_collision_problem e forse poco più in alto viene data una spiegazione ma per me è aramaico!
Ma va, figurati. Gli ho dato una rapida occhiata, non ne ero a conoscenza nemmeno io
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