Aiuto per lo Studio del carattere della seguente serie

[piano91]

al variare di x in R:

Suggerimento: quando x=0 sono riuscito a studiarla la serie in quanto diventa una serie alternata; poi non so come procedere per x>0 oppure per x<0.

Rimango in attesa di vostro info!!!

[Paolo902]

Prova a studiare la convergenza assoluta, applicando il criterio della radice, per esempio.

P.S. Conosci le serie di potenze?

P.P.S Un'ultima cosa: per piacere, da ora in poi, usa le formule.
Grazie

[piano91]

Si ho capito ma il problema sorge quando vado a studiare x che varia in R; io la convergenza assoluta
l'ho studiata per x=0 applicando il criterio della radice, ti ripeto non so come procedere per x<0 oppure x>0

[Paolo902]

Considera

[tex]\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{2^n}{n^2}\vert x-1 \vert^n[/tex]. Applicando il criterio della radice hai che [tex]\displaystyle \lim_{n \to +\infty}\sqrt[n]{\frac{2^n}{n^2}\vert\ x-1 \vert^{n}}= 2 \vert x-1 \vert \displaystyle \lim_{n \to +\infty}\sqrt[n]{\frac{1}{n^2}} = 2 \vert x-1 \vert[/tex]

Se vuoi che converga come deve essere questo limite? Minore di 1. Quindi, [tex]$2 \vert x-1 \vert <1$[/tex].

Comincia a far questo, poi ne riparliamo.

[piano91]

Ok grazie mille, cmq non c'è il modulo è semplicemente (x-1).
Allora la serie converge se l < 1 (x<3/2), diverge se l > 1 (x>3/2)

e se l =1 ?

[Paolo902]

Non riesco a capire molto del tuo post. Ti avevo gentilmente invitato ad usare le formule, invito che rinnovo sperando venga accolto.

Comunque:

"piano91":Ok grazie mille, cmq non c'è il modulo è semplicemente (x-1).

Eh, no il modulo c'è eccome. Come ti ho detto sopra, stai studiando la convergenza assoluta della serie (stai usando il criterio della radice, quindi hai bisogno di una serie a termini positivi!).

[piano91]

Okok, giusto per utilizzare il criterio della radice la serie deve essere a termini positivi, quindi studio la convergenza assoluta: trovo che la serie dei valori assoluti

Converge per: $1/2
Diverge per: $x>3/2 vv x<1/2$

Ultima domanda: cosa succede se
$x=1/2 vv x=3/2$?

[Paolo902]

"piano91":Okok, giusto per utilizzare il criterio della radice la serie deve essere a termini positivi, quindi studio la convergenza assoluta: trovo che la serie dei valori assoluti

Converge per: $1/2
Diverge per: $x>3/2 vv x<1/2$

Molto bene.

"piano91":
Ultima domanda: cosa succede se
$x=1/2 vv x=3/2$?

Questo lo devi scoprire andando a sostituire i due particolari valori di $x$ all'interno dell'espressione della serie.

P.S. Grazie per le formule.

[piano91]

Grazie di tutto,
infine

Se $x=3/2$ ottengo: $\sum_{k=1}^N 2^n/n^2 (1/2)^n$ = $\sum_{k=1}^N 1/n^2$ serie armonica generalizzata con $p>1$ quindi è convergente.

Se $x=1/2$ $\sum_{k=1}^N 2^n/n^2 (1)^n$ Osservazione $(1)^n$ è forma indeterminata o posso considerarlo come $1$, se fosse giusto qust'ultimo caso ottengo $\sum_{k=1}^N 2^n/n^2$ $a_n>0$ posso applicare il criterio della radice
ed
$\lim_{n \to \infty}2^n/n^2$ $=2 >1$ quindi la serie di partenza diverge per x= 1/2.

Se invece devo considerare la forma indeterminata $(1)^n$ come devo fare?

[Paolo902]

"piano91":Grazie di tutto,
infine

Se $x=3/2$ ottengo: $\sum_{k=1}^N 2^n/n^2 (1/2)^n$ = $\sum_{k=1}^N 1/n^2$ serie armonica generalizzata con $p>1$ quindi è convergente.

Ok, corretto.

"piano91": Se $x=1/2$ $\sum_{k=1}^N 2^n/n^2 (1)^n$

No, attenzione: per [tex]x=\frac{1}{2}[/tex] ottieni [tex]\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{2^{n}}{n^2}\frac{\left(-1\right)^n}{2^n} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{\left(-1\right)^n}{n^2}[/tex] che converge per il criterio di Leibniz sulle serie a segni alterni.

Tutto chiaro?


P.S. [tex]$1^{n}=1, \quad \forall n \in \mathbb{N}[/tex].

[piano91]

Grazie infinite per il disturbo che ti ho causato, scusami per non aver usato le formule scritte in modo
corretto all'inizio, ma era la prima vlt che scrivevo su questo forum.
Menomale che in Italia ci sono ancora persone cm te!!!
Ciao Buona giornata

[Paolo902]

Stai tranquillo, nessun disturbo, anzi, è un piacere.

Quando vuoi siamo qui.
Buona permanenza nel foro