Aiuto per limiti
Ciao
utilizzando limiti notevoli, Hopital e infiniti/infinitesimi mi dareste una mano per questi limiti
1) $lim_(h->0)(x+e-(1+x)^(1/x))/(1-cossqrt(2))$ Risultato $e+2$
2) $lim_(h->0)(2x^2+2arctg (1/x^2)-pi)/(log^2(x-arctgx+1))$ risultato $6$
3) $lim_(h->0)((x-sinx)tg6x)/((e^x^2-1)-2(1-cosx^2))$. Risultato $1/2$
Provo a ricondurmi ai lim fondamentali, poi ad applicare Hopital, ma nulla
Grazie
utilizzando limiti notevoli, Hopital e infiniti/infinitesimi mi dareste una mano per questi limiti
1) $lim_(h->0)(x+e-(1+x)^(1/x))/(1-cossqrt(2))$ Risultato $e+2$
2) $lim_(h->0)(2x^2+2arctg (1/x^2)-pi)/(log^2(x-arctgx+1))$ risultato $6$
3) $lim_(h->0)((x-sinx)tg6x)/((e^x^2-1)-2(1-cosx^2))$. Risultato $1/2$
Provo a ricondurmi ai lim fondamentali, poi ad applicare Hopital, ma nulla
Grazie
Risposte
anch'io continuo a non capire.
Mi potete spiegare come si deve fare per scrivere il testo in modo decente come realmente si dovrebbe fare senza quei modi strani di far capire tende o elevato a .... insomma come in word si usa equation editor?
Grazie infinite. Anch'io ho diversi quesiti da sottoporVi ma così non me la sento.
Roberto
Mi potete spiegare come si deve fare per scrivere il testo in modo decente come realmente si dovrebbe fare senza quei modi strani di far capire tende o elevato a .... insomma come in word si usa equation editor?
Grazie infinite. Anch'io ho diversi quesiti da sottoporVi ma così non me la sento.
Roberto
Per scrivere correttamente e con la giusta simbologia matematica, devi inserire il testo tra i simboli $.
Per le notazioni giuste da usare per limiti, integrali, sommatorie c' un apposito editor che si scarica da questo sito.
Il l'ho raccolto in un file word. Se hai difficoltà a reperirlo posso inviartelo.
Speriamo che qualcuno chiarisca i dubbi.
Ps: per gli altri limiti di cui al topic iniziale qualcuno può suggerire qualcosa?
Grazie
Per le notazioni giuste da usare per limiti, integrali, sommatorie c' un apposito editor che si scarica da questo sito.
Il l'ho raccolto in un file word. Se hai difficoltà a reperirlo posso inviartelo.
Speriamo che qualcuno chiarisca i dubbi.
Ps: per gli altri limiti di cui al topic iniziale qualcuno può suggerire qualcosa?
Grazie
Ti ringrazio molto. se mi puoi essere piu' preciso rispetto al topic di cui sopra ed inviarmi qualcosa a tal proposito questa è la mia e-mail:
gdlan@libero.it
dove reperisco il software di cui parli?
Grazie Roberto.
gdlan@libero.it
dove reperisco il software di cui parli?
Grazie Roberto.
"ANTONELLI ":
Mi potete spiegare come si deve fare per scrivere il testo in modo decente
leggere qui:
https://www.matematicamente.it/forum/com ... 26179.html
"vitus":
continuo a non capire da dove salta fuori $ex/2$?
vi invito all'approfondimento dei capitoli su:
- infiniti, infinitesimi e loro confronto
- equivalenza asintotica (e parte principale)
- approssimante lineare
poi, se volete, ci si sente.
Allora cerco di porVi questo quesito.
$lim_(x\to\-infty\)x + log( x^2+1)$
ED ANCORA:
$lim_(x\to\+infty) 2arctan x + log(x^2 + 1)$
E
$lim_(x\to\-infty) 2 arctan x + log(x^2 +1)$
Grazie.
spero di aver scritto bene. Pero' non trovo la parentesi graffa sulla tastiera
$lim_(x\to\-infty\)x + log( x^2+1)$
ED ANCORA:
$lim_(x\to\+infty) 2arctan x + log(x^2 + 1)$
E
$lim_(x\to\-infty) 2 arctan x + log(x^2 +1)$
Grazie.
spero di aver scritto bene. Pero' non trovo la parentesi graffa sulla tastiera
Invece questo l'ho risolto cosi' :
$\lim_( n\to\+ infty\ ) sqrt n log(1+ 1/sqrt(2n))$
moltiplico e divido il limite per sqrt 2
$sqrt (2) /sqrt(2)lim_( n\to\+ infty\ ) sqrt n log(1+ 1/sqrt(2n))$
poi porto dentro sqrt(2) e moltiplico la radice di 2 per la radice di n :
$1/sqrt(2) \ lim_( n\to\+ infty\ ) sqrt(2n) log(1+ 1/sqrt(2n))$
l'argomento del logaritmo ora lo posso elevare a radice di 2n e applicare la proprietà che il limite del logaritmo è uguale al logaritmo del limite:
$1/sqrt(2) log \ lim_( n\to\+ infty\ ) (1+ 1/sqrt(2n))^(sqrt(2n))$
ora siamo di fronte ad un limite notevole con$ x = sqrt (2n)$ ed inoltre tendendo a + infinito n tenderà anche x sulla base dell'equazione $ x = sqrt (2n)$ che abbiamo posto e
percio' :
$1/sqrt(2) log \ lim_( x\to\+ infty\ ) (1+ 1/x)^(x)$
allora: $log e =1$
percio' $1/sqrt(2) * 1
ed allora risultato finale razionalizzando $ sqrt(2) / 2$
che ve ne pare?
$\lim_( n\to\+ infty\ ) sqrt n log(1+ 1/sqrt(2n))$
moltiplico e divido il limite per sqrt 2
$sqrt (2) /sqrt(2)lim_( n\to\+ infty\ ) sqrt n log(1+ 1/sqrt(2n))$
poi porto dentro sqrt(2) e moltiplico la radice di 2 per la radice di n :
$1/sqrt(2) \ lim_( n\to\+ infty\ ) sqrt(2n) log(1+ 1/sqrt(2n))$
l'argomento del logaritmo ora lo posso elevare a radice di 2n e applicare la proprietà che il limite del logaritmo è uguale al logaritmo del limite:
$1/sqrt(2) log \ lim_( n\to\+ infty\ ) (1+ 1/sqrt(2n))^(sqrt(2n))$
ora siamo di fronte ad un limite notevole con$ x = sqrt (2n)$ ed inoltre tendendo a + infinito n tenderà anche x sulla base dell'equazione $ x = sqrt (2n)$ che abbiamo posto e
percio' :
$1/sqrt(2) log \ lim_( x\to\+ infty\ ) (1+ 1/x)^(x)$
allora: $log e =1$
percio' $1/sqrt(2) * 1
ed allora risultato finale razionalizzando $ sqrt(2) / 2$
che ve ne pare?
"ANTONELLI ":
spero di aver scritto bene. Pero' non trovo la parentesi graffa sulla tastiera
ALT + 123 (tastierina numerica a destra) ${$
ALT + 125 $}$
In relazione a questo limite:
$lim_(x\to\-infty\)x + log( x^2+1)$
io ragionerei cosi' , ma chiedo conferma:
moltiplico all'interno del logartmo per $x^2$ e contemporaneamente divido per $x^2$ sempre all'interno del logaritmo ed allora posso anche scrivere:
$ lim_(x\to\-infty\) x + log(1+1/(x^2) x^2$ ed ancora per la proprieta' dei logaritmi :
$ lim_(x\to\-infty\) x + log(1+1/(x^2) + log x^2$ ora il logaritmo al centro lo elevo a $x^2$ ed ancora ad $ 1/x^2 $ non cambiando nulla ed allora:
$ lim_(x\to\-infty\) x + log [(1+1/x^2)^(x^2)]^(1/(x^2) + log x^2$
poniamo $x^2 = t $
quindi il limite da $ (x \to\-infty\)$ passa a $ (t\to\+infty\)$
e pertanto:
$ lim _(t\to\+infty\) sqrt(t) + 1/t * log lim_(t\to\+infty\) (1+ 1/t)^ t + log lim_(t\to\+infty\) t
$lim_(x\to\-infty\)x + log( x^2+1)$
io ragionerei cosi' , ma chiedo conferma:
moltiplico all'interno del logartmo per $x^2$ e contemporaneamente divido per $x^2$ sempre all'interno del logaritmo ed allora posso anche scrivere:
$ lim_(x\to\-infty\) x + log(1+1/(x^2) x^2$ ed ancora per la proprieta' dei logaritmi :
$ lim_(x\to\-infty\) x + log(1+1/(x^2) + log x^2$ ora il logaritmo al centro lo elevo a $x^2$ ed ancora ad $ 1/x^2 $ non cambiando nulla ed allora:
$ lim_(x\to\-infty\) x + log [(1+1/x^2)^(x^2)]^(1/(x^2) + log x^2$
poniamo $x^2 = t $
quindi il limite da $ (x \to\-infty\)$ passa a $ (t\to\+infty\)$
e pertanto:
$ lim _(t\to\+infty\) sqrt(t) + 1/t * log lim_(t\to\+infty\) (1+ 1/t)^ t + log lim_(t\to\+infty\) t
In relazione a questo limite:
$lim_(x\to\-infty\)x + log( x^2+1)$
io ragionerei cosi' , ma chiedo conferma:
moltiplico all'interno del logartmo per $x^2$ e contemporaneamente divido per $x^2$ sempre all'interno del logaritmo ed allora posso anche scrivere:
$ lim_(x\to\-infty\) x + log(1+1/(x^2))*x^2$ ed ancora per la proprieta' dei logaritmi :
$ lim_(x\to\-infty\) x + log(1+1/(x^2)) + log x^2$ ora il logaritmo al centro lo elevo a $x^2$ ed ancora ad $ 1/x^2 $ non cambiando nulla ed allora:
$ lim_(x\to\-infty\) x + log [(1+1/x^2)^(x^2)]^(1/(x^2) )+ log x^2$
poniamo $x^2 = t $
quindi il limite da $ (x \to\-infty\)$ passa a $ (t\to\+infty\)$
e pertanto:
$ lim _(t\to\+infty\) sqrt(t) + 1/t * log lim_(t\to\+infty\) (1+ 1/t)^ t + log lim_(t\to\+infty\) t$
a questo punto si puo' concludere che il primo limite ed il terxo sono uguali a $+infty$ mentre il limite centrale è uguale a 0 ed allora :
$+ infty$ + $0$ + $ +infty$
e cioè il risultato finale è $ + infty$
che ve ne pare? grazie.
$lim_(x\to\-infty\)x + log( x^2+1)$
io ragionerei cosi' , ma chiedo conferma:
moltiplico all'interno del logartmo per $x^2$ e contemporaneamente divido per $x^2$ sempre all'interno del logaritmo ed allora posso anche scrivere:
$ lim_(x\to\-infty\) x + log(1+1/(x^2))*x^2$ ed ancora per la proprieta' dei logaritmi :
$ lim_(x\to\-infty\) x + log(1+1/(x^2)) + log x^2$ ora il logaritmo al centro lo elevo a $x^2$ ed ancora ad $ 1/x^2 $ non cambiando nulla ed allora:
$ lim_(x\to\-infty\) x + log [(1+1/x^2)^(x^2)]^(1/(x^2) )+ log x^2$
poniamo $x^2 = t $
quindi il limite da $ (x \to\-infty\)$ passa a $ (t\to\+infty\)$
e pertanto:
$ lim _(t\to\+infty\) sqrt(t) + 1/t * log lim_(t\to\+infty\) (1+ 1/t)^ t + log lim_(t\to\+infty\) t$
a questo punto si puo' concludere che il primo limite ed il terxo sono uguali a $+infty$ mentre il limite centrale è uguale a 0 ed allora :
$+ infty$ + $0$ + $ +infty$
e cioè il risultato finale è $ + infty$
che ve ne pare? grazie.
"ANTONELLI ":
In relazione a questo limite:
$lim_(x\to\-infty\)x + log( x^2+1)$
e cioè il risultato finale è $ + infty$
che ve ne pare? grazie.
Il risultato è errato.$lim_(x\to\-infty\)x + log( x^2+1)=-infty$
Il limite è più semplice di quel che sembra. Ragiona così:
$x$ è un infinito di ordine superiore rispetto a $ log( x^2+1)$ e perciò
per $x->-infty$
$x + log( x^2+1)~x$
dunque
$lim_(x\to\-infty\)x =-infty$
L'errore e' qui:
Se poni $t=x^2$ allora $x=\pm\sqrt{x}$ dove il segno va scelto a seconda del segno di $x$. Se $x\to-\infty$ allora
$x=-\sqrt{t}$ che va a meno infinito (e sei piu' o meno al punto iniziale). Inoltre non ha molto senso il termine di mezzo
$ 1/t * log lim_(t\to\+infty\) (1+ 1/t)^ t$ con quell' $1/t$ fuori dal limite.
In realta' le manipolazioni fatte all'inizio non sono malvage; quando arrivi a
$x+\ln(1+1/x^2)+ln(x^2)$
puoi notare che il secondo pezzo tende a zero e quindi il problema diventa calcolare il limite di $x+ln(x^2)$;
a questo punto non vedo altro modo che seguire l'idea di piero_, mettendo in evidenza il termine $x$ (che dovrebbe essere quello piu' importante). Viene
$x(1+\frac{\ln(x^2)}{x})$ e a questo punto sai (o dimostri, per esempio con Hospital) che $\frac{\ln(x^2)}{x}$ tende a zero e quindi il limite fa $-\infty$
"ANTONELLI ":
poniamo $x^2 = t $
quindi il limite da $ (x \to\-infty\)$ passa a $ (t\to\+infty\)$
e pertanto:
$ lim _(t\to\+infty\) sqrt(t) + 1/t * log lim_(t\to\+infty\) (1+ 1/t)^ t + log lim_(t\to\+infty\) t$
Se poni $t=x^2$ allora $x=\pm\sqrt{x}$ dove il segno va scelto a seconda del segno di $x$. Se $x\to-\infty$ allora
$x=-\sqrt{t}$ che va a meno infinito (e sei piu' o meno al punto iniziale). Inoltre non ha molto senso il termine di mezzo
$ 1/t * log lim_(t\to\+infty\) (1+ 1/t)^ t$ con quell' $1/t$ fuori dal limite.
In realta' le manipolazioni fatte all'inizio non sono malvage; quando arrivi a
$x+\ln(1+1/x^2)+ln(x^2)$
puoi notare che il secondo pezzo tende a zero e quindi il problema diventa calcolare il limite di $x+ln(x^2)$;
a questo punto non vedo altro modo che seguire l'idea di piero_, mettendo in evidenza il termine $x$ (che dovrebbe essere quello piu' importante). Viene
$x(1+\frac{\ln(x^2)}{x})$ e a questo punto sai (o dimostri, per esempio con Hospital) che $\frac{\ln(x^2)}{x}$ tende a zero e quindi il limite fa $-\infty$
troppo bravi . Mi controllate anche il, precedente limite per favore.
Vi ringrazio molto.
Vi ringrazio molto.
"ANTONELLI ":
Invece questo l'ho risolto cosi' :
$\lim_( n\to\+ infty\ ) sqrt n log(1+ 1/sqrt(2n))$
moltiplico e divido il limite per sqrt 2
$sqrt (2) /sqrt(2)lim_( n\to\+ infty\ ) sqrt n log(1+ 1/sqrt(2n))$
poi porto dentro sqrt(2) e moltiplico la radice di 2 per la radice di n :
$1/sqrt(2) \ lim_( n\to\+ infty\ ) sqrt(2n) log(1+ 1/sqrt(2n))$
l'argomento del logaritmo ora lo posso elevare a radice di 2n e applicare la proprietà che il limite del logaritmo è uguale al logaritmo del limite:
$1/sqrt(2) log \ lim_( n\to\+ infty\ ) (1+ 1/sqrt(2n))^(sqrt(2n))$
ora siamo di fronte ad un limite notevole con$ x = sqrt (2n)$ ed inoltre tendendo a + infinito n tenderà anche x sulla base dell'equazione $ x = sqrt (2n)$ che abbiamo posto e
percio' :
$1/sqrt(2) log \ lim_( x\to\+ infty\ ) (1+ 1/x)^(x)$
allora: $log e =1$
percio' $1/sqrt(2) * 1
ed allora risultato finale razionalizzando $ sqrt(2) / 2$
che ve ne pare?
Direi che questo e' giusto.
Riguardo ai precedenti
$\lim_{x\to \pm\infty} 2\atan(x)+\log(1+x^2)$
viene $+\infty$ in entrambi i casi in quanto
$\lim_{x\to \pm\infty} 2\atan(x)=\pm\pi/2$ e $\lim_{x\to \pm\infty} \log(1+x^2)=+\infty$
EDIT scusa - mi sopno perso un $2$ -- dovevo scrivere $\lim_{x\to \pm\infty} 2\atan(x)=\pm\pi$.
Comunque il risultato finale era lo stesso
"ANTONELLI ":
Mi controllate anche il, precedente limite per favore.
Se è questo il precedente
$lim_(x\to\+infty) 2arctg x + ln(x^2 + 1)$
$lim_(x\to\+infty) 2arctg x =2*lim_(x\to\+infty) arctg x =2*pi/2=pi$
(vedi grafico dell' $arctgx$)
dunque
$lim_(x\to\+infty) 2arctg x + ln(x^2 + 1)= + infty$
ragiona in modo analogo con l'altro limite, ma occhio al risultato
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