Aiuto per limite

[geovito]

Ciao
Mi dareste un suggerimento per questo limite?
$\lim_{x \to \0}((2^x+5^x)/(3^x+4^x))^(1/x)
Forma indefinita $1^infty$
Ho provato a semplificare il tutto prima di scrivere il limite nella forma $e^(1/x)log((2^x+5^x)/(3^x+4^x)),
aggiungendo e sottraendo 1 per ricondurmi ai limiti notevoli $\lim_{x \to \0}(1+x)^(1/x)=e$ e $\lim_{x \to \0}(a^x-1)/x=loga$ ,ma nulla.
Qualche suggerimento?

[pater46]

che ne diresti di effettuare questa scomposizione?

$ \lim_{x \to \0}((2^x+5^x)/(3^x+4^x))^(1/x) = \lim_{x \to 0} [ \frac { 2^x \cdot ( 1 + 5^x/2^x ) } { 3^x \cdot ( 1 + 4^x/3^x ) } ]^(1/x) = \lim_{x \to 0} [ (2/3)^x \cdot \frac { 1 + 5^x/2^x } { 1 + 4^x/3^x } ]^(1/x) $

Ora... il prossimo passo forse non è troppo immediato, vediamo cosa ne riesci a tirare fuori

[geovito]

ci avevo già pensato.
ci riprovo sperando che sortisca qualcosa
grazie cmq.

[blackbishop13]

mi sembra che mi sia venuto con questo metodo, che forse è simile a quello che suggerisce pater46, ma a me non piacciono le frazioni
$lim_{x \to \0}((2^x+5^x)/(3^x+4^x))^(1/x)=lim_{x \to \0}(1+(2^x+5^x-3^x-4^x)/(3^x+4^x))^(1/x)$

da qui ti crei l'esponente che ti serve ovvero $lim_{x \to \0}(1+(2^x+5^x-3^x-4^x)/(3^x+4^x))^(((3^x+4^x)/(2^x+5^x-3^x-4^x))*((2^x+5^x-3^x-4^x)/(3^x+4^x))*(1/x))$

che diventa $e^(lim_{x to 0} (2^x+5^x-3^x-4^x)/(x*(3^x+4^x)) )$

che risolvi tranquillamente con De L'Hopital

[pater46]

Personalmente per risolverlo io ho usato questi limiti ( in ordine di utilizzo ):

1) $\lim_{x \to 0} a^x -1 = x\ln(a) $ ( Questo l'ho usato come approssimazione asintotica )

2) $lim_{x \to 0} (1 + ax)^(1/x) = e^a$

Al risultato ci arrivi, al momento però non mi vengono in mente strade più semplici. Vediamo se qualcuno riesce a semplificare la cosa

PS: non avevo letto la risposta di blackbishop, quella è una delle altre strade

Se comunque non riesci ti mostro come ho proceduto. ( si dice proceduto? )

[geovito]

[quote=blackbishop13]mi sembra che mi sia venuto con questo metodo, che forse è simile a quello che suggerisce pater46, ma a me non piacciono le frazioni
$lim_{x \to \0}((2^x+5^x)/(3^x+4^x))^(1/x)=lim_{x \to \0}(1+(2^x+5^x-3^x-4^x)/(3^x+4^x))^(1/x)$

aggiungo e sottraggo 1 e calcolo il mcm, giusto?

da qui ti crei l'esponente che ti serve ovvero $lim_{x \to \0}(1+(2^x+5^x-3^x-4^x)/(3^x+4^x))^(((3^x+4^x)/(2^x+5^x-3^x-4^x))*((2^x+5^x-3^x-4^x)/(3^x+4^x))*(1/x))$

questo passaggio non l'ho capito

[pater46]

Lo sta usando come fosse del tipo $ lim_{x -> 0} (1 + x)^(1/x) $

( Non pensavo si potesse fare anche con gli esponenziali, finora l'ho visto al massimo con polinomiali... O meglio, non credevo che $ lim_{x \to \infty} (1 + 1/(f(x)))^{f(x)} = e $, confermi blackbishop? )