Aiuto per limite!
Ciao a tutti...mi aiutate a risolvere questo limite?
[tex]$\lim_{x \to + \infty} \frac{x^2 \log (\frac{1}{x}) - \sqrt{x^3+x^4}}{e^{\frac{1}{x}} (x^4-\sqrt{2x^6+x^8})}$[/tex]
Non riesco proprio a venirne fuori... ho scritto che log (1/x) = 1/x -1 ma dopo non so come andare avati.
Grazie mille a tutti.
[tex]$\lim_{x \to + \infty} \frac{x^2 \log (\frac{1}{x}) - \sqrt{x^3+x^4}}{e^{\frac{1}{x}} (x^4-\sqrt{2x^6+x^8})}$[/tex]
Non riesco proprio a venirne fuori... ho scritto che log (1/x) = 1/x -1 ma dopo non so come andare avati.
Grazie mille a tutti.
Risposte
Il problema è nelle radici, non nel logaritmo, secondo me...
Prova a mettere in evidenza l'infinito d'ordine maggiore nei radicandi; porta fuori dal segno di radice e metti in evidenza; applica Taylor alla radice che ti rimane al denominatore; gioca un altro po' con il mettere in evidenza e dovresti aver finito.
Facci sapere che succede.
P.S.: Benvenuto.
Prova a mettere in evidenza l'infinito d'ordine maggiore nei radicandi; porta fuori dal segno di radice e metti in evidenza; applica Taylor alla radice che ti rimane al denominatore; gioca un altro po' con il mettere in evidenza e dovresti aver finito.
Facci sapere che succede.
P.S.: Benvenuto.
Ma è giusta la parte del logaritmo, come inizio? Inoltre e^0 lo scrivo uno e lo tolgo via esatto? Comunque questo limite andrebbe risolto senza usare la serie di taylor, ma solo con i limiti notevoli e ordini vari...grazie mille!
Te l'ho detto, il logaritmo lascialo stare.
Se non puoi usare Taylor, individua l'infinito d'ordine superiore al numeratore ed al denominatore, mettili in evidenza e finisci... Tuttavia temo che usare Taylor, almeno per il denominatore sia indispensabile (a meno di non barare).
P.S.: Ah, poi non è affatto vero che [tex]$\ln \frac{1}{x} \sim \frac{1}{x} -1$[/tex]: infatti si ha:
[tex]$\lim_{x\to +\infty} \frac{\ln \frac{1}{x}}{\frac{1}{x} -1} \stackrel{y=-\ln \frac{1}{x}}{=} \lim_{y\to +\infty} \frac{y}{1-e^{-y}}=+\infty$[/tex]
Invero [tex]$\ln \frac{1}{x}$[/tex] è infinito d'ordine infinitamente elevato in [tex]$+\infty$[/tex] (perchè?).
Se non puoi usare Taylor, individua l'infinito d'ordine superiore al numeratore ed al denominatore, mettili in evidenza e finisci... Tuttavia temo che usare Taylor, almeno per il denominatore sia indispensabile (a meno di non barare).
P.S.: Ah, poi non è affatto vero che [tex]$\ln \frac{1}{x} \sim \frac{1}{x} -1$[/tex]: infatti si ha:
[tex]$\lim_{x\to +\infty} \frac{\ln \frac{1}{x}}{\frac{1}{x} -1} \stackrel{y=-\ln \frac{1}{x}}{=} \lim_{y\to +\infty} \frac{y}{1-e^{-y}}=+\infty$[/tex]
Invero [tex]$\ln \frac{1}{x}$[/tex] è infinito d'ordine infinitamente elevato in [tex]$+\infty$[/tex] (perchè?).
quando ci sono delle radici in genere è opportuno cercare di razionalizzare
moltiplica quindi numeratore e denominatore per $x^4+sqrt(2x^6+x^8)$ : al denominatore ottieni quindi, dopo le opportune semplificazioni, $ -2x^6$
se poi al numeratore estrai da radice i termini di grado massimo, dovresti ottenere un $x^6$ che si semplifica con quello al denominatore
moltiplica quindi numeratore e denominatore per $x^4+sqrt(2x^6+x^8)$ : al denominatore ottieni quindi, dopo le opportune semplificazioni, $ -2x^6$
se poi al numeratore estrai da radice i termini di grado massimo, dovresti ottenere un $x^6$ che si semplifica con quello al denominatore
"Nicole93":
quando ci sono delle radici in genere è opportuno cercare di razionalizzare
moltiplica quindi numeratore e denominatore per $x^4+sqrt(2x^6+x^8)$ : al denominatore ottieni quindi, dopo le opportune semplificazioni, $ -2x^6$
se poi al numeratore estrai da radice i termini di grado massimo, dovresti ottenere un $x^6$ che si semplifica con quello al denominatore
Esatto!
Con gli strumenti a disposizione è molto meglio fare così.
Non l'avevo proprio vista... Si vede che sto invecchiando.
Ok forse l'ho risolto...mi viene piu infinito come risultato...vi torna? (non ho la soluzione purtroppo)
"flavio20002":
Ok forse l'ho risolto...mi viene piu infinito come risultato...vi torna? (non ho la soluzione purtroppo)
Sisi... E proprio grazie a quel logaritmo che volevi "uccidere"!
penso che sia giusto
infatti $log(1/x)$ tende a $-oo$, ma poichè al denominatore c'è -2 il risultato è $+oo$
infatti $log(1/x)$ tende a $-oo$, ma poichè al denominatore c'è -2 il risultato è $+oo$
Eh gia...mi son ricondotto al limite notovole del log(1+x) e l'ho applicato nel modo piu sbagliato possibile! grazie mile a tutti...
(p.s. Anche se vi parrà strano, sono laureato in Ingeneria, ma sto aiutando la mia ragazza che è al primo anno con analisi..insomma ho preso 30 lode in Analisi 1 a suo tempo, ma non ricordo nemmeno come si risolvono questi semplici limiti
(p.s. Anche se vi parrà strano, sono laureato in Ingeneria, ma sto aiutando la mia ragazza che è al primo anno con analisi..insomma ho preso 30 lode in Analisi 1 a suo tempo, ma non ricordo nemmeno come si risolvono questi semplici limiti
ciao a tutti...posso utilizzare questo spazio per chiedere di aiutarmi a risolvere un limite?
è il seguente $(4*sin(x)-2*(tan((3*x)^(1/3)))^3)/(cos(x)+sin(x)-1)$
il limite tende a zero....usando maple mi indica che il limite è -2
Penso che il metodo più efficace sia Taylor...ma trovo difficoltà nel sviluppare $ (tan((3*x)^(1/3))^3)$
Per sviluppare il cubo penso che si moltiplichi lo sviluppo del quadrato di quell'espressione per la stessa..del resto non so come uscirne fuori..
è il seguente $(4*sin(x)-2*(tan((3*x)^(1/3)))^3)/(cos(x)+sin(x)-1)$
il limite tende a zero....usando maple mi indica che il limite è -2
Penso che il metodo più efficace sia Taylor...ma trovo difficoltà nel sviluppare $ (tan((3*x)^(1/3))^3)$
Per sviluppare il cubo penso che si moltiplichi lo sviluppo del quadrato di quell'espressione per la stessa..del resto non so come uscirne fuori..
"star89":
il limite tende a zero
Dannazione, è sbagliatissimo. Il limite non tende ad un bel niente. Il limite E'.
perchè non usi De L'Hopital?
volevo dire per x che tende a zero.pardon
non uso de l 'Hopital perchè nella traccia c è scritto "senza l uso delle derivate"
"star89":
non uso de l 'Hopital perchè nella traccia c è scritto "senza l uso delle derivate"
E allora scordati pure Taylor.
no no...mi ha detto la prof che quando scrive cosi Taylor lo accetta anche,è de l 'Hopital che non devo proprio considerare..
oppure proponete qualche altro metodo risolutivo!!!!!!!!!!
oppure proponete qualche altro metodo risolutivo!!!!!!!!!!
"star89":
ciao a tutti...posso utilizzare questo spazio per chiedere di aiutarmi a risolvere un limite?
è il seguente $(4*sin(x)-2*(tan((3*x)^(1/3)))^3)/(cos(x)+sin(x)-1)$
il limite tende a zero....usando maple mi indica che il limite è -2
Penso che il metodo più efficace sia Taylor...ma trovo difficoltà nel sviluppare $ (tan((3*x)^(1/3))^3)$
Per sviluppare il cubo penso che si moltiplichi lo sviluppo del quadrato di quell'espressione per la stessa..del resto non so come uscirne fuori..
Ad ogni modo è banale. (anche se ho sbagliato.. lol)
Al denominatore hai la somma di due infinitesimi... $cos(x) - 1$ (che è dell'ordine di $x^2$ e può essere trascurato) e $sin(x)$ (che è dell'ordine di $x$).
Per sviluppare quella tangente basta ricordare il limite notevole:
$lim_(x -> 0) tan(x)/x = 1$
per il denominatore ok..giusto.
non ho capito perchè mi dici di ricordare il limite notevole...(se posso darti del tu)
non ho capito perchè mi dici di ricordare il limite notevole...(se posso darti del tu)
$lim_(y -> 0) tan(y)/y = 1$
Infatti, scrivendo fuori dal limite:
$tan(y)/y = 1 + o(1)$
$tan(y) = y + o(y)$
$tan^3(y) = (y + o(y))*(y + o(y))^2$
$tan^3(y) = (y + o(y))*(y^2 + 2y o(y) + o(y^2)) = y^3 + 2y^2 o(y) + o(y^3) "..." = y^3 + o(y^3)$
Poi...
$tan^3(3 * x^(1/3)) = 27 * x + o([3 * x^(1/3)]^3) = 27 x + o(x)$
Il limite dovrebbe venire $-50$
Infatti, scrivendo fuori dal limite:
$tan(y)/y = 1 + o(1)$
$tan(y) = y + o(y)$
$tan^3(y) = (y + o(y))*(y + o(y))^2$
$tan^3(y) = (y + o(y))*(y^2 + 2y o(y) + o(y^2)) = y^3 + 2y^2 o(y) + o(y^3) "..." = y^3 + o(y^3)$
Poi...
$tan^3(3 * x^(1/3)) = 27 * x + o([3 * x^(1/3)]^3) = 27 x + o(x)$
Il limite dovrebbe venire $-50$
$y=(3*x)^(1/3)$
quindi $tan^3((3*x)^(1/3))=3*x+o(x)$
se ricontrolli il limite c'è un -2 che moltiplica l espressione che abbiam discusso..sommato a $4*sin(x)$
alla fine il lim è -2 !!capisci?
grazie per avermi aiutato a ragionare!!!!!!!
quindi $tan^3((3*x)^(1/3))=3*x+o(x)$
se ricontrolli il limite c'è un -2 che moltiplica l espressione che abbiam discusso..sommato a $4*sin(x)$
alla fine il lim è -2 !!capisci?
grazie per avermi aiutato a ragionare!!!!!!!
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