Aiuto per integrale con i residui
Ciao a tutti vorrei un aiuto con questo integrale:
$ int_(-oo )^(oo ) (e^(2*i*x))/((x^3)+i) $
calcolarlo attraverso il metodo della variabile complessa (ho dedotto si parli di residui).
La soluzione dovrebbe essere:
$ -((2*pi*i)/3)*(e^(-2)) $
Ma non riesco a semplificare lo $ z^3+i $
Grazie a chiunque mi aiuti!
$ int_(-oo )^(oo ) (e^(2*i*x))/((x^3)+i) $
calcolarlo attraverso il metodo della variabile complessa (ho dedotto si parli di residui).
La soluzione dovrebbe essere:
$ -((2*pi*i)/3)*(e^(-2)) $
Ma non riesco a semplificare lo $ z^3+i $
Grazie a chiunque mi aiuti!
Risposte
Devi calcolarti le radici cubiche di [tex]$-i$[/tex]!
L'integrale si calcola con l'ausilio dei lemmi di Jordan e della teoria dei residui e si fa in maniera standard.
La funzione ausiliaria complessa da considerare è [tex]f(z)=\frac{e^{2\imath z}}{z^3+\imath}[/tex], la quale deve essere integrata su una famiglia di circuiti costituiti da segmenti dell'asse reale e da archi di circonferenze (uno "grande" e gli altri "piccoli", che aggirino le eventuali singolarità presenti sull'asse reale).
Quindi, se hai studiato un po' di teoria, puoi fare velocemente tutti i conti del caso.
*** EDIT: Avevo sbagliato a riportare la funzione ausiliaria, perchè avevo letto male l'integrando. Scusa.
La funzione ausiliaria complessa da considerare è [tex]f(z)=\frac{e^{2\imath z}}{z^3+\imath}[/tex], la quale deve essere integrata su una famiglia di circuiti costituiti da segmenti dell'asse reale e da archi di circonferenze (uno "grande" e gli altri "piccoli", che aggirino le eventuali singolarità presenti sull'asse reale).
Quindi, se hai studiato un po' di teoria, puoi fare velocemente tutti i conti del caso.
*** EDIT: Avevo sbagliato a riportare la funzione ausiliaria, perchè avevo letto male l'integrando. Scusa.
Applicando lemma di jordan e residui arrivo alla situazione in cui l'unica singolarità in cui l'integrale sarà diverso da 0 sarà i quindi:
$ 2*pi*i*lim_(z -> i) ((e^{2*i*z}/(z^3+i))* (z-i)) $
Come risolvo il limite...? non riesco a togliermi di mezzo la singolarità al denominatore. Grazie
$ 2*pi*i*lim_(z -> i) ((e^{2*i*z}/(z^3+i))* (z-i)) $
Come risolvo il limite...? non riesco a togliermi di mezzo la singolarità al denominatore. Grazie
Perchè non fare con una bella divisione di polinomi?
Dopotutto [tex]$\imath$[/tex] è una radice del denominatore, no?
Dopotutto [tex]$\imath$[/tex] è una radice del denominatore, no?
Mmm potresti essere piu chiaro...?
Guarda, più chiaro di così mi pare non si possa.
Devi dividere [tex]$z^3+\imath$[/tex] per [tex]$z-\imath$[/tex].
Per fare le cose rapidamente, ti conviene tener presente che hai già determinato tutte le radici del polinomio [tex]$z^3+\imath$[/tex], ergo lo sai scomporre in fattori.
Devi dividere [tex]$z^3+\imath$[/tex] per [tex]$z-\imath$[/tex].
Per fare le cose rapidamente, ti conviene tener presente che hai già determinato tutte le radici del polinomio [tex]$z^3+\imath$[/tex], ergo lo sai scomporre in fattori.
Ah mi fossilizzavo sul fatto che non posso fare divisioni con divisore di grado maggiore ma mi bastava invertire il risultato! Ti ringrazio!
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