Aiuto per integrale
Salve a tutti, è la prima volta che posto in questo forum.
Il mio problema è che non riesco a capire quali sono i passaggi per ottenere delle equazioni.
Partendo dalle seguenti:
1. $\frac{dP_{s0}(t)}{dt}=-[z_{01}(t)+z_{02}(t)]P_{s0}(t)$
2. $\frac{dP_{s1}(t)}{dt}=-[z_{13}(t)]P_{s1}(t)+[z_{01}(t)]P_{s0}(t)$
3. $\frac{dP_{s2}(t)}{dt}=-[z_{23}(t)]P_{s2}(t)+[z_{02}(t)]P_{s0}(t)$
4. $\frac{dP_{s3}(t)}{dt}=-[z_{13}(t)]P_{s1}(t)+[z_{23}(t)]P_{s2}(t)$
e ponendo $z_{01}(t)=\lambda_{1}$ , $z_{02}(t)=\lambda_{2}$ , $z_{13}(t)=\lambda_{3}$ , $z_{23}(t)=\lambda_{4}$ le soluzioni delle equazioni sopra sono:
1a. $P_{s0}(t)=e^{-(\lambda_{1}+\lambda_{2})t}$
2a. $P_{s1}(t)=\frac{\lambda_{1}}{\lambda_{1}+\lambda_{2}-\lambda_{3}}(e^{-\lambda_{3}t}-e^{-(\lambda_{1}+\lambda_{2})t})$
3a. $P_{s2}(t)=\frac{\lambda_{2}}{\lambda_{1}+\lambda_{2}-\lambda_{4}}(e^{-\lambda_{4}t}-e^{-(\lambda_{1}+\lambda_{2})t})$
4a. $P_{s3}(t)=1-[P_{s0}(t)+P_{s1}(t)+P_{s2}(t)]$
Di seguito illustro i passaggi per ottenere la 1a partendo dalla 1:
. $\frac{dP_{s0}(t)}{dt}=-(\lambda_{1}+\lambda_{2})P_{s0}(t)$
. $\frac{dP_{s0}(t)}{P_{s0}(t)}=-(\lambda_{1}+\lambda_{2})dt$
. Integrando da entrambe le parti, dato che $\frac{d[ln|f(x)|]}{dx}=\frac{f^{'}(x)}{f(x)}$ , si ottiene:
. $ln[P_{s0}(t)]=-\int\lambda_{1}+\lambda_{2}dt$
. $P_{s0}(t)=e^{-\int\lambda_{1}+\lambda_{2}dt}$ dalla quale si ottiene la 1a.
Il quesito è: come ottengo la 2a e la 3a partendo rispettivamente dalla 2 e dalla 3?
Qualcuno mi aiuti altrimenti divento pazzo..Grazie in anticipo!
Il mio problema è che non riesco a capire quali sono i passaggi per ottenere delle equazioni.
Partendo dalle seguenti:
1. $\frac{dP_{s0}(t)}{dt}=-[z_{01}(t)+z_{02}(t)]P_{s0}(t)$
2. $\frac{dP_{s1}(t)}{dt}=-[z_{13}(t)]P_{s1}(t)+[z_{01}(t)]P_{s0}(t)$
3. $\frac{dP_{s2}(t)}{dt}=-[z_{23}(t)]P_{s2}(t)+[z_{02}(t)]P_{s0}(t)$
4. $\frac{dP_{s3}(t)}{dt}=-[z_{13}(t)]P_{s1}(t)+[z_{23}(t)]P_{s2}(t)$
e ponendo $z_{01}(t)=\lambda_{1}$ , $z_{02}(t)=\lambda_{2}$ , $z_{13}(t)=\lambda_{3}$ , $z_{23}(t)=\lambda_{4}$ le soluzioni delle equazioni sopra sono:
1a. $P_{s0}(t)=e^{-(\lambda_{1}+\lambda_{2})t}$
2a. $P_{s1}(t)=\frac{\lambda_{1}}{\lambda_{1}+\lambda_{2}-\lambda_{3}}(e^{-\lambda_{3}t}-e^{-(\lambda_{1}+\lambda_{2})t})$
3a. $P_{s2}(t)=\frac{\lambda_{2}}{\lambda_{1}+\lambda_{2}-\lambda_{4}}(e^{-\lambda_{4}t}-e^{-(\lambda_{1}+\lambda_{2})t})$
4a. $P_{s3}(t)=1-[P_{s0}(t)+P_{s1}(t)+P_{s2}(t)]$
Di seguito illustro i passaggi per ottenere la 1a partendo dalla 1:
. $\frac{dP_{s0}(t)}{dt}=-(\lambda_{1}+\lambda_{2})P_{s0}(t)$
. $\frac{dP_{s0}(t)}{P_{s0}(t)}=-(\lambda_{1}+\lambda_{2})dt$
. Integrando da entrambe le parti, dato che $\frac{d[ln|f(x)|]}{dx}=\frac{f^{'}(x)}{f(x)}$ , si ottiene:
. $ln[P_{s0}(t)]=-\int\lambda_{1}+\lambda_{2}dt$
. $P_{s0}(t)=e^{-\int\lambda_{1}+\lambda_{2}dt}$ dalla quale si ottiene la 1a.
Il quesito è: come ottengo la 2a e la 3a partendo rispettivamente dalla 2 e dalla 3?
Qualcuno mi aiuti altrimenti divento pazzo..Grazie in anticipo!
Risposte
Proprio nessuno riesce ad aiutarmi?
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