Aiuto per il calcolo del residuo
scusate volevo chiedervi come trovare il residuo in 0 della seguente funzione e , se possibile anche una breve descrizione teorica del perchè e di che tipo di singolarità si tratta.
grazie in anticipo.
$ 1 / (e^{z} - 1) $
grazie in anticipo.
$ 1 / (e^{z} - 1) $
Risposte
Per i residui c'è una comoda formuletta che trovi sul tuo libro di testo, così come la classificazione delle singolarità isolate delle funzioni olomorfe.
Prova a vedere lì, poi casomai parliamo di ciò che non hai capito.
Prova a vedere lì, poi casomai parliamo di ciò che non hai capito.
il fatto è che per trovare il residuo dovrei trovare la parte analitica della funzione, ma non so di che ordine sia il polo...o se è un singolarità essenziale non so come comportarmi.
non so proprio dove sbattere la testa e ho l'esame tra pochi giorni, non potreste aiutarmi per favore?
il professore mi ha suggerito di moltiplicare e dividere per z ma non so a cosa possa portare...
non so proprio dove sbattere la testa e ho l'esame tra pochi giorni, non potreste aiutarmi per favore?
il professore mi ha suggerito di moltiplicare e dividere per z ma non so a cosa possa portare...
Ma la "teoria" l'hai studiata?
La "teoria" ti dice che, nella "pratica", non sempre c'è bisogno di fare tutto quel casino per determinare il residuo intorno ad una singolarità; anzi si dimostra una formula che è semplicissima per il calcolo dei residui e che si riduce a calcolare qualche derivata di una certa funzione ausiliaria ed a passare al limite quanto ottenuto.
Il suggerimento del professore era orientato proprio all'applicazione di questa formula.
Inoltre, sempre nella "teoria", si dimostra un metodo semplicissimo per classificare le singolarità isolate delle funzioni olomorfe che vengono nella forma di rapporto ([tex]$\tfrac{f(z)}{g(z)}$[/tex]), basato sul calcolo dell'ordine degli zeri di numeratore e denominatore.
Queste sono le basi di ogni esame di Analisi Complessa (sto dando per scontato che tu stia preparando un esame del genere; se non è così dillo pure), se non le studi come pretendi di svolgere gli esercizi?
Il consiglio è: apri il libro e leggiti almeno queste cose. Un po' come consiglia Charlie Brown alla sorellina nella vignetta che ho in firma.
La "teoria" ti dice che, nella "pratica", non sempre c'è bisogno di fare tutto quel casino per determinare il residuo intorno ad una singolarità; anzi si dimostra una formula che è semplicissima per il calcolo dei residui e che si riduce a calcolare qualche derivata di una certa funzione ausiliaria ed a passare al limite quanto ottenuto.
Il suggerimento del professore era orientato proprio all'applicazione di questa formula.
Inoltre, sempre nella "teoria", si dimostra un metodo semplicissimo per classificare le singolarità isolate delle funzioni olomorfe che vengono nella forma di rapporto ([tex]$\tfrac{f(z)}{g(z)}$[/tex]), basato sul calcolo dell'ordine degli zeri di numeratore e denominatore.
Queste sono le basi di ogni esame di Analisi Complessa (sto dando per scontato che tu stia preparando un esame del genere; se non è così dillo pure), se non le studi come pretendi di svolgere gli esercizi?
Il consiglio è: apri il libro e leggiti almeno queste cose. Un po' come consiglia Charlie Brown alla sorellina nella vignetta che ho in firma.
il fatto è che è un esame facoltativo a cui il professore non ha dedicato molte energie, non abbiamo un libro di riferimento ma solo le dispense del professore in cui non riesco bene a orientarmi sull'argomento.
ad esempio non abbiamo mai parlato di passare al limite per trovare il residuo
i due metodi che io conosco per determinare il residuo di una funzione in un punto sono:
- noto l'ordine k del polo fare la derivata (k-1) esima della parte analitica della funzione nel punto e dividere per (k-1)!
- se è in forma polinomiale P(z)/Q(z) allora se z° è un polo del primo ordine----> res(f, z°)= P(z°)/Q'(z°)
quindi non capisco bene come comportarmi
qual'è il metodo per classificare le singolarità per f in forma di rapporto?
di che ordine è il polo in 0?
quanto vale e come si trova il residuo in 0 per la funzione sopra scritta?
scusatemi se sono domande un pò banali ma come gia detto questo esame dovrebbe essere un "infarinatura" sull'argomento...
ad esempio non abbiamo mai parlato di passare al limite per trovare il residuo
i due metodi che io conosco per determinare il residuo di una funzione in un punto sono:
- noto l'ordine k del polo fare la derivata (k-1) esima della parte analitica della funzione nel punto e dividere per (k-1)!
- se è in forma polinomiale P(z)/Q(z) allora se z° è un polo del primo ordine----> res(f, z°)= P(z°)/Q'(z°)
quindi non capisco bene come comportarmi
qual'è il metodo per classificare le singolarità per f in forma di rapporto?
di che ordine è il polo in 0?
quanto vale e come si trova il residuo in 0 per la funzione sopra scritta?
scusatemi se sono domande un pò banali ma come gia detto questo esame dovrebbe essere un "infarinatura" sull'argomento...
Non capisco; se le dispense non sono chiare, non sarebbe meglio studiare su un libro?
Ad ogni modo, capisco che della materia non te ne importa alcunché, che vuoi "fare presto" perchè giustamente se è un'infarinatura è meglio non studiare seriamente...
Ti scrivo un po' di cose e spero che tu le capisca.
Allora, cominciamo dalle basi.
Se una funzione è data nella forma [tex]$\frac{1}{f(z)}$[/tex], con [tex]$f$[/tex] olomorfa, tale che [tex]$f(z_0)=0$[/tex], e [tex]$f$[/tex] non identicamente nulla intorno a [tex]$z_0$[/tex], allora [tex]$f$[/tex] ha uno zero d'ordine finito in [tex]$z_0$[/tex] (per il Principio d'identità delle funzioni analitiche); detto [tex]$p$[/tex] l'ordine di [tex]$z_0$[/tex] come zero di [tex]$f$[/tex], allora la funzione [tex]$\frac{1}{f(z)}$[/tex] ha in [tex]$z_0$[/tex] un polo d'ordine [tex]$p$[/tex].
L'ordine di uno zero di una funzione olomorfa si determina o sviluppando esplicitamente in serie di Taylor (in tal caso l'ordine dello zero è l'indice del primo coefficiente non nullo nello sviluppo), oppure calcolando le derivate e fermandosi alla prima derivata non nulla (in tal caso l'ordine dello zero coincide con l'ordine della prima derivata non nulla).
Nel tuo caso [tex]$f(z)=e^z-1$[/tex] e in [tex]$z_0=0$[/tex] si ha [tex]$f(z_0)=0$[/tex], con [tex]$f$[/tex] olomorfa e non identicamente nulla intorno a [tex]$0$[/tex]: pertanto la funzione [tex]$\tfrac{1}{e^z-1}$[/tex] ha sicuramente un polo d'ordine finito in [tex]$0$[/tex]. D'altra parte si ha:
[tex]$f(z)=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n!}\ z^n$[/tex]
ergo l'ordine di [tex]$0$[/tex] come zero di [tex]$f$[/tex] è [tex]$p=1$[/tex]; ne consegue che [tex]$\tfrac{1}{e^z-1}$[/tex] ha in [tex]$0$[/tex] un polo d'ordine [tex]$1$[/tex].
Il residuo [tex]$\text{Res} (\tfrac{1}{e^z-1};0)$[/tex] si potrebbe determinare andando a scrivere esplicitamente lo sviluppo di Laurent intorno alla singolarità isolata [tex]$0$[/tex], però questa strada è difficile.
Meglio è tenere presente che per una funzione [tex]$\phi (z)$[/tex] avente un un polo d'ordine [tex]$p$[/tex] in [tex]$z_0$[/tex] vale la formula che segue:
[tex]$\text{Res} (\phi (z);z_0):=\frac{1}{(p-1)!}\ \lim_{z\to z_0} \frac{\text{d}^{p-1}}{\text{d} z^{p-1}} \left[ (z-z_0)\ \phi (z)\right]$[/tex]
la quale si ricava dallo sviluppo in serie di Laurent (non ti chiedo di lavorarci perchè ti serve solo un'infarinatura...).
Nel caso presente, dato che [tex]$p=1$[/tex], la formula precedente riconduce la determinazione del residuo al calcolo del limite:
[tex]$\text{Res} (\tfrac{1}{e^z-1} ;0)= \lim_{z\to 0} \frac{z}{e^z-1}$[/tex]
che dovresti riconoscere come un limite fondamentale.
In generale, se una funzione è assegnata nella forma [tex]$\tfrac{f(z)}{g(z)}$[/tex], con [tex]$f,g$[/tex] olomorfe, nulle in [tex]$z_0$[/tex] e non identicamente nulle intorno a [tex]$z_0$[/tex] allora, detti [tex]$p,q$[/tex] gli ordini di [tex]$z_0$[/tex] come zero di [tex]$f$[/tex] e [tex]$g$[/tex] (finiti, sempre per il suddetto Principio d'identità), la funzione [tex]$\tfrac{f(z)}{g(z)}$[/tex] ha in [tex]$z_0$[/tex]:
1. uno zero d'ordine [tex]$p-q$[/tex] se [tex]$p>q$[/tex];
2. una singolarità eliminabile (che si trasforma in un punto regolare, una volta fatto il giusto prolungamento) se [tex]$p=q$[/tex];
3. un polo d'ordine [tex]$q-p$[/tex] se [tex]$q>p$[/tex];
ciò si ricava sviluppando in serie numeratore e denominatore (ma visto che ti serve solo un'infarinatura...).
Good luck.
P.S.: La formula [tex]$\text{Res} (\tfrac{P(z)}{Q(z)} ;z_0) = \frac{P(z_0)}{Q^\prime (z_0)}$[/tex] vale in ipotesi parecchio restrittive; infatti se provi ad applicarla alla funzione [tex]$\tfrac{z}{\sin^2 z}$[/tex] (che ha in [tex]$0$[/tex] un polo d'ordine [tex]$p=1$[/tex]) non arrivi da nessuna parte.
Ad ogni modo, capisco che della materia non te ne importa alcunché, che vuoi "fare presto" perchè giustamente se è un'infarinatura è meglio non studiare seriamente...
Ti scrivo un po' di cose e spero che tu le capisca.
Allora, cominciamo dalle basi.
Se una funzione è data nella forma [tex]$\frac{1}{f(z)}$[/tex], con [tex]$f$[/tex] olomorfa, tale che [tex]$f(z_0)=0$[/tex], e [tex]$f$[/tex] non identicamente nulla intorno a [tex]$z_0$[/tex], allora [tex]$f$[/tex] ha uno zero d'ordine finito in [tex]$z_0$[/tex] (per il Principio d'identità delle funzioni analitiche); detto [tex]$p$[/tex] l'ordine di [tex]$z_0$[/tex] come zero di [tex]$f$[/tex], allora la funzione [tex]$\frac{1}{f(z)}$[/tex] ha in [tex]$z_0$[/tex] un polo d'ordine [tex]$p$[/tex].
L'ordine di uno zero di una funzione olomorfa si determina o sviluppando esplicitamente in serie di Taylor (in tal caso l'ordine dello zero è l'indice del primo coefficiente non nullo nello sviluppo), oppure calcolando le derivate e fermandosi alla prima derivata non nulla (in tal caso l'ordine dello zero coincide con l'ordine della prima derivata non nulla).
Nel tuo caso [tex]$f(z)=e^z-1$[/tex] e in [tex]$z_0=0$[/tex] si ha [tex]$f(z_0)=0$[/tex], con [tex]$f$[/tex] olomorfa e non identicamente nulla intorno a [tex]$0$[/tex]: pertanto la funzione [tex]$\tfrac{1}{e^z-1}$[/tex] ha sicuramente un polo d'ordine finito in [tex]$0$[/tex]. D'altra parte si ha:
[tex]$f(z)=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n!}\ z^n$[/tex]
ergo l'ordine di [tex]$0$[/tex] come zero di [tex]$f$[/tex] è [tex]$p=1$[/tex]; ne consegue che [tex]$\tfrac{1}{e^z-1}$[/tex] ha in [tex]$0$[/tex] un polo d'ordine [tex]$1$[/tex].
Il residuo [tex]$\text{Res} (\tfrac{1}{e^z-1};0)$[/tex] si potrebbe determinare andando a scrivere esplicitamente lo sviluppo di Laurent intorno alla singolarità isolata [tex]$0$[/tex], però questa strada è difficile.
Meglio è tenere presente che per una funzione [tex]$\phi (z)$[/tex] avente un un polo d'ordine [tex]$p$[/tex] in [tex]$z_0$[/tex] vale la formula che segue:
[tex]$\text{Res} (\phi (z);z_0):=\frac{1}{(p-1)!}\ \lim_{z\to z_0} \frac{\text{d}^{p-1}}{\text{d} z^{p-1}} \left[ (z-z_0)\ \phi (z)\right]$[/tex]
la quale si ricava dallo sviluppo in serie di Laurent (non ti chiedo di lavorarci perchè ti serve solo un'infarinatura...).
Nel caso presente, dato che [tex]$p=1$[/tex], la formula precedente riconduce la determinazione del residuo al calcolo del limite:
[tex]$\text{Res} (\tfrac{1}{e^z-1} ;0)= \lim_{z\to 0} \frac{z}{e^z-1}$[/tex]
che dovresti riconoscere come un limite fondamentale.
In generale, se una funzione è assegnata nella forma [tex]$\tfrac{f(z)}{g(z)}$[/tex], con [tex]$f,g$[/tex] olomorfe, nulle in [tex]$z_0$[/tex] e non identicamente nulle intorno a [tex]$z_0$[/tex] allora, detti [tex]$p,q$[/tex] gli ordini di [tex]$z_0$[/tex] come zero di [tex]$f$[/tex] e [tex]$g$[/tex] (finiti, sempre per il suddetto Principio d'identità), la funzione [tex]$\tfrac{f(z)}{g(z)}$[/tex] ha in [tex]$z_0$[/tex]:
1. uno zero d'ordine [tex]$p-q$[/tex] se [tex]$p>q$[/tex];
2. una singolarità eliminabile (che si trasforma in un punto regolare, una volta fatto il giusto prolungamento) se [tex]$p=q$[/tex];
3. un polo d'ordine [tex]$q-p$[/tex] se [tex]$q>p$[/tex];
ciò si ricava sviluppando in serie numeratore e denominatore (ma visto che ti serve solo un'infarinatura...).
Good luck.
P.S.: La formula [tex]$\text{Res} (\tfrac{P(z)}{Q(z)} ;z_0) = \frac{P(z_0)}{Q^\prime (z_0)}$[/tex] vale in ipotesi parecchio restrittive; infatti se provi ad applicarla alla funzione [tex]$\tfrac{z}{\sin^2 z}$[/tex] (che ha in [tex]$0$[/tex] un polo d'ordine [tex]$p=1$[/tex]) non arrivi da nessuna parte.
non so come ringraziarti ora mi stampo e studio quello che mi hai scritto e per gli esami futuri spero di avere dei testi da consultare
ti ringrazio ancora (se non capirò qualcosa riscriverò) comunque per ora ciao!
ti ringrazio ancora (se non capirò qualcosa riscriverò
) comunque per ora ciao!
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