Aiuto per esercizio su funzioni BV
Ciao a tutti!
Ho il seguente esercizio da risolvere:
Presa la seguente funzione \(\displaystyle f(x):= \Biggl\{ \begin{array}{rl}
tanh(x^\alpha)sin(1/x^\beta) & x \in (0,1] \\
0 & x = 0 \\
\end{array}\)
Dire per quali valori dei parametri \(\displaystyle \alpha > 0 \) e \(\displaystyle \beta > 0 \), la funzione appartiene a \(\displaystyle BV([0,1]) \).
Ho pensato di usare il criterio della Lipschitziana.
Per cui, ho effettuato la derivata della funzione, che mi viene così:
\(\displaystyle f'(x)= \alpha x^{\alpha -1} sech^2(x^{\alpha}) sin(x^{-\beta}) - \beta x^{-\beta -1} tanh(x^{\alpha})cos(x^{-\beta}) \)
<
e \(\displaystyle f'(0)= \lim_{h\to 0} {f(h)-f(0) \over h} = 0\)
Perciò la funzione è derivabile in tutto \(\displaystyle [0,1] \) e \(\displaystyle C^1((0,1]) \)
Fino a qui è giusto?
Ora, devo vedere se la sua derivata prima è limitata.
Ecco, qui arrivano le difficoltà per me.
Si avrà che la funzione è Lipschitziana se vale:
\(\displaystyle |f'(x)| \leq f'(1) = c\) con \(\displaystyle c=cost \)
E' giusto?
Però , so che può sembrare stupido, ma non riesco a trovare il valore di \(\displaystyle f'(1) \)
Qualcuno può darmi qualche dritta??
Grazie mille!!!
Ho il seguente esercizio da risolvere:
Presa la seguente funzione \(\displaystyle f(x):= \Biggl\{ \begin{array}{rl}
tanh(x^\alpha)sin(1/x^\beta) & x \in (0,1] \\
0 & x = 0 \\
\end{array}\)
Dire per quali valori dei parametri \(\displaystyle \alpha > 0 \) e \(\displaystyle \beta > 0 \), la funzione appartiene a \(\displaystyle BV([0,1]) \).
Ho pensato di usare il criterio della Lipschitziana.
Per cui, ho effettuato la derivata della funzione, che mi viene così:
\(\displaystyle f'(x)= \alpha x^{\alpha -1} sech^2(x^{\alpha}) sin(x^{-\beta}) - \beta x^{-\beta -1} tanh(x^{\alpha})cos(x^{-\beta}) \)
<
e \(\displaystyle f'(0)= \lim_{h\to 0} {f(h)-f(0) \over h} = 0\)
Perciò la funzione è derivabile in tutto \(\displaystyle [0,1] \) e \(\displaystyle C^1((0,1]) \)
Fino a qui è giusto?
Ora, devo vedere se la sua derivata prima è limitata.
Ecco, qui arrivano le difficoltà per me.
Si avrà che la funzione è Lipschitziana se vale:
\(\displaystyle |f'(x)| \leq f'(1) = c\) con \(\displaystyle c=cost \)
E' giusto?
Però , so che può sembrare stupido, ma non riesco a trovare il valore di \(\displaystyle f'(1) \)
Qualcuno può darmi qualche dritta??
Grazie mille!!!
Risposte
Sinceramente, non capisco perché la derivata prima debba essere limitata dall'alto da \(f^\prime (1)\)...
Ad ogni modo, prima di tutto, cerca di addolcirti i conti.
Dato che per $\alpha >0$ hai \(\tanh x^\alpha \sim x^\alpha\) per $x\to 0^+$, la tua $f$ sarà \(BV([0,1])\) non appena è in \(BV([0,1])\) la funzione:
\[
g(x) := \begin{cases} x^\alpha\ \sin \frac{1}{x^\beta} &\text{, se } 0
La $g$ ha derivata prima:
\[
g^\prime (x) = \begin{cases} \alpha x^{\alpha -1}\ \sin \frac{1}{x^\beta} - \beta x^{\alpha - \beta -1} \cos \frac{1}{x^\beta} &\text{, se } 0
che è limitata non appena risultano ad esponente $\geq 0$ le potenze che figurano come moltiplicatori di \(\sin \frac{1}{x^\beta}\) e \(\cos \frac{1}{x^\beta}\), cioè quando $\alpha$ e $\beta$ risolvono il sistema:
\[
\begin{cases}
\alpha -1 \geq 0 \\
\alpha -\beta -1 \geq 0
\end{cases}\qquad \Leftrightarrow \qquad \begin{cases}
\alpha \geq 1 \\
\alpha \geq \beta +1
\end{cases}\qquad \Leftrightarrow \qquad \boxed{\alpha \geq \beta +1}\; .
\]
Quindi la tua funzione è Lipschitz, e dunque pure $BV$, quando \(\alpha \geq \beta +1\).
Rimane da vedere cosa accade per $\alpha <\beta +1$, poiché potrebbe esistere qualche combinazione di esponenti che garantisce la variazione limitata per $g$ anche senza garantirne la lipschitzianità.
Qui potresti andarti a costruire esplicitamente le "peggiori" partizioni possibili di $[0,1]$ e calcolare esplicitamente la variazioni di $g$ rispetto a tali partizioni, cercando di studiarti la loro limitatezza in funzione dei parametri $\alpha$ e $\beta$.
Ad ogni modo, prima di tutto, cerca di addolcirti i conti.
Dato che per $\alpha >0$ hai \(\tanh x^\alpha \sim x^\alpha\) per $x\to 0^+$, la tua $f$ sarà \(BV([0,1])\) non appena è in \(BV([0,1])\) la funzione:
\[
g(x) := \begin{cases} x^\alpha\ \sin \frac{1}{x^\beta} &\text{, se } 0
La $g$ ha derivata prima:
\[
g^\prime (x) = \begin{cases} \alpha x^{\alpha -1}\ \sin \frac{1}{x^\beta} - \beta x^{\alpha - \beta -1} \cos \frac{1}{x^\beta} &\text{, se } 0
che è limitata non appena risultano ad esponente $\geq 0$ le potenze che figurano come moltiplicatori di \(\sin \frac{1}{x^\beta}\) e \(\cos \frac{1}{x^\beta}\), cioè quando $\alpha$ e $\beta$ risolvono il sistema:
\[
\begin{cases}
\alpha -1 \geq 0 \\
\alpha -\beta -1 \geq 0
\end{cases}\qquad \Leftrightarrow \qquad \begin{cases}
\alpha \geq 1 \\
\alpha \geq \beta +1
\end{cases}\qquad \Leftrightarrow \qquad \boxed{\alpha \geq \beta +1}\; .
\]
Quindi la tua funzione è Lipschitz, e dunque pure $BV$, quando \(\alpha \geq \beta +1\).
Rimane da vedere cosa accade per $\alpha <\beta +1$, poiché potrebbe esistere qualche combinazione di esponenti che garantisce la variazione limitata per $g$ anche senza garantirne la lipschitzianità.
Qui potresti andarti a costruire esplicitamente le "peggiori" partizioni possibili di $[0,1]$ e calcolare esplicitamente la variazioni di $g$ rispetto a tali partizioni, cercando di studiarti la loro limitatezza in funzione dei parametri $\alpha$ e $\beta$.
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