Aiuto per compito svolto
Salve a tutti,
oggi c'era la prova di fine corso a cui ho partecipato e purtroppo non è andata un gran chè.
Volevo condividere con voi i miei svolgimenti, così da poter sottolineare i miei errori.
1)
$int_(\delta\omega)((1-sen^4(piz))/((e^(jpiz))(4z^2-1)))$
Dove $\omega$ è il dominio $|z-1| < 2$
Osservato subito che $int_(\delta\omega)((1-sen^4(piz))/((e^(jpiz))(4z^2-1)))=text{ Re }(int_(\delta\omega)((1-e^(4piz))/((e^(jpiz))(4z^2-1))))$
Calcoliamo il dominio
$|z-1| < 2 => |x+jy-1|<2 => |(x-1)+jy|<2=>sqrt((x-1)^2+y^2)<2 => x^2+y^2-2x+1
Quindi calcolo i residui della funzione e sommerò quelli che appartengono al dominio
$4z^2-1=0 => z=+-1/2$
Vediamo se appartengono a
$x^2+y^2-2x+1
$e^(jpiz)+j=0 => e^(jpiz) = -j => cos(piz)+jsen(piz) = -j => {(cos(piz)=0),(sen(piz)=-1):}$
Il varole è $z=3/2+2k$
Devo verificare per quali $k$ mi trovo nell'insieme.
Ho osservato subito che se $k>0$ allora non appartengono al dominio.
Ho poi sostituito $3/2+2k$ in $x^2+y^2-2x+1
2)
Determinare l'antitrasformata di Laplace di $X(s) = (s+1+e^(-2s))/((s-1)(s^2-2s+10)^2)$
Questa antitrasformata mi ha un pò spiazzato. Non ricordando alcuna formula utile (e non potendo consultare nessun formulario), ho ben pensato di decomporre il tutto in fratti semplici e usare che $L^-1((k!)/(s-s_0)^k)= t^k*e^(s_0)$
Non l'avessi mai fatto: ci sono 2 poli doppi e uno singolo
$X(s)= A/(s-1) + B/(s-(1+3j))+C/(s-(1+3j)^2)+D/(s-(1-3j))+E/(s-(1-3j))^2$
Mentre il coefficiente A si è calcolato in pochi secondi, per calcolare B è stato un casino: ho riempito una pagina di quaderno per ottenere comunque un valoraccio e mi sono spaventato all'idea di calcolare gli altri 3 valori.
Così invece di perder tempo sono passato al prossimo esercizio
3) Determinare la successione definita per ricorrenza dalla legge
${(x(n+1)-2x(n)=2^(sen(npi/2))),(x(0)=0):}$
Finalmente qualcosa di facile!
Era meglio se stavo zitto.
Non sono stato capace di trasformare $2^(sen(npi/2))$.
L'intuito mi suggeriva di usare la definizione di trasformata Z e distinguere i casi in base ai valori che assumeva.
In particolare risulta subito che
$sen(npi/2)={(0, text{se n è pari}),(1, text{se n = 1}),(-1,text{se n = 3}):}$
Ma chiaramente ciò funziona anche con 5,7 e poi 9,11 ecc ecc..
Ma pur spremendo le meningi non sono riuscito a trovare 1 modo per esprimere $sen(npi/2)$ come somma di successioni numeriche più semplici (che poi avrei trasformato usando la definizione). Purtroppo $(-1)^n)$ che di solito salva la situazione in questi casi non mi aiuta, poichè essendo n dispari, $-1^n=-1$.
Che dire, questa volta è andata male, speriamo di rifarci alla prossima con una buona dose di studio!
Spero nei vostri aiuti e consigli
Grazie!
oggi c'era la prova di fine corso a cui ho partecipato e purtroppo non è andata un gran chè.
Volevo condividere con voi i miei svolgimenti, così da poter sottolineare i miei errori.
1)
$int_(\delta\omega)((1-sen^4(piz))/((e^(jpiz))(4z^2-1)))$
Dove $\omega$ è il dominio $|z-1| < 2$
Osservato subito che $int_(\delta\omega)((1-sen^4(piz))/((e^(jpiz))(4z^2-1)))=text{ Re }(int_(\delta\omega)((1-e^(4piz))/((e^(jpiz))(4z^2-1))))$
Calcoliamo il dominio
$|z-1| < 2 => |x+jy-1|<2 => |(x-1)+jy|<2=>sqrt((x-1)^2+y^2)<2 => x^2+y^2-2x+1
Quindi calcolo i residui della funzione e sommerò quelli che appartengono al dominio
$4z^2-1=0 => z=+-1/2$
Vediamo se appartengono a
$x^2+y^2-2x+1
$e^(jpiz)+j=0 => e^(jpiz) = -j => cos(piz)+jsen(piz) = -j => {(cos(piz)=0),(sen(piz)=-1):}$
Il varole è $z=3/2+2k$
Devo verificare per quali $k$ mi trovo nell'insieme.
Ho osservato subito che se $k>0$ allora non appartengono al dominio.
Ho poi sostituito $3/2+2k$ in $x^2+y^2-2x+1
2)
Determinare l'antitrasformata di Laplace di $X(s) = (s+1+e^(-2s))/((s-1)(s^2-2s+10)^2)$
Questa antitrasformata mi ha un pò spiazzato. Non ricordando alcuna formula utile (e non potendo consultare nessun formulario), ho ben pensato di decomporre il tutto in fratti semplici e usare che $L^-1((k!)/(s-s_0)^k)= t^k*e^(s_0)$
Non l'avessi mai fatto: ci sono 2 poli doppi e uno singolo
$X(s)= A/(s-1) + B/(s-(1+3j))+C/(s-(1+3j)^2)+D/(s-(1-3j))+E/(s-(1-3j))^2$
Mentre il coefficiente A si è calcolato in pochi secondi, per calcolare B è stato un casino: ho riempito una pagina di quaderno per ottenere comunque un valoraccio e mi sono spaventato all'idea di calcolare gli altri 3 valori.
Così invece di perder tempo sono passato al prossimo esercizio
3) Determinare la successione definita per ricorrenza dalla legge
${(x(n+1)-2x(n)=2^(sen(npi/2))),(x(0)=0):}$
Finalmente qualcosa di facile!
Era meglio se stavo zitto.
Non sono stato capace di trasformare $2^(sen(npi/2))$.
L'intuito mi suggeriva di usare la definizione di trasformata Z e distinguere i casi in base ai valori che assumeva.
In particolare risulta subito che
$sen(npi/2)={(0, text{se n è pari}),(1, text{se n = 1}),(-1,text{se n = 3}):}$
Ma chiaramente ciò funziona anche con 5,7 e poi 9,11 ecc ecc..
Ma pur spremendo le meningi non sono riuscito a trovare 1 modo per esprimere $sen(npi/2)$ come somma di successioni numeriche più semplici (che poi avrei trasformato usando la definizione). Purtroppo $(-1)^n)$ che di solito salva la situazione in questi casi non mi aiuta, poichè essendo n dispari, $-1^n=-1$.
Che dire, questa volta è andata male, speriamo di rifarci alla prossima con una buona dose di studio!
Spero nei vostri aiuti e consigli
Grazie!
Risposte
Riguardo al 3, che so fare, non capisco cosa si intende per "determinare".
Poi occhio ai valori di $2^{sen (n\pi)/(2)}$, perchè non vanno bene.
Comunque secondo me l'unica cosa che si può dire è ad esempio:
$x(n+1)=1+2x(n)$
$x(n+2)=2+2x(n+1) = 4+4x(n)$
$x(n+3)=1+2x(n+2) = 9+8x(n)$
$x(n+4)=1/2+2x(n+3) = 37/2+16x(n)$
Quindi ci sono 4 estratte che hanno una ricorrenza lineare.
Poi occhio ai valori di $2^{sen (n\pi)/(2)}$, perchè non vanno bene.
Comunque secondo me l'unica cosa che si può dire è ad esempio:
$x(n+1)=1+2x(n)$
$x(n+2)=2+2x(n+1) = 4+4x(n)$
$x(n+3)=1+2x(n+2) = 9+8x(n)$
$x(n+4)=1/2+2x(n+3) = 37/2+16x(n)$
Quindi ci sono 4 estratte che hanno una ricorrenza lineare.
Il seguente dominio:
$|z-1|<2$
è semplicemente il cerchio di centro $(1,0)$ e raggio $2$. La seguente funzione:
$f(z)=(1-sen^4piz)/(e^(jpiz)(4z^2-1))=(e^(-jpiz)(1+sen^2piz)(1-senpiz)(1+senpiz))/((2z-1)(2z+1))$
può avere dei punti singolari per $[z=+-1/2]$, entrambi interni al dominio. Si tratta di classificarli e determinarne gli eventuali residui. Siccome:
$lim_(z->1/2)(1-senpiz)/(2z-1)=lim_(z->1/2)(1-1+pi^2/2(z-1/2)^2+o(z-1/2)^2)/(2(z-1/2))=lim_(z->1/2)[pi^2/4(z-1/2)+o(z-1/2)]=0$
$lim_(z->-1/2)(1+senpiz)/(2z+1)=lim_(z->-1/2)(1-1+pi^2/2(z+1/2)^2+o(z+1/2)^2)/(2(z+1/2))=lim_(z->-1/2)[pi^2/4(z+1/2)+o(z+1/2)]=0$
$[z=+-1/2]$ sono singolarità eliminabili. Quindi, il valore di quell'integrale è nullo. Guardando il tuo svolgimento mi è venuto un dubbio: al denominatore avevi $[e^(jpiz)]$ oppure $[e^(jpiz)+j]$? Perchè altrimenti bisognerebbe studiare anche questo termine, come stavi giustamente facendo:
$[e^(jpiz)+j=0] rarr [piz=-pi/2+2kpi] rarr [z=-1/2+2k]$
Siccome all'interno del dominio si annulla per $[z=-1/2]$ e $[z=3/2]$, ovviamente l'esercizio cambia. In ogni modo, mi sembra che tu proceda in modo piuttosto macchinoso, eseguendo calcoli sovrabbondanti.
$|z-1|<2$
è semplicemente il cerchio di centro $(1,0)$ e raggio $2$. La seguente funzione:
$f(z)=(1-sen^4piz)/(e^(jpiz)(4z^2-1))=(e^(-jpiz)(1+sen^2piz)(1-senpiz)(1+senpiz))/((2z-1)(2z+1))$
può avere dei punti singolari per $[z=+-1/2]$, entrambi interni al dominio. Si tratta di classificarli e determinarne gli eventuali residui. Siccome:
$lim_(z->1/2)(1-senpiz)/(2z-1)=lim_(z->1/2)(1-1+pi^2/2(z-1/2)^2+o(z-1/2)^2)/(2(z-1/2))=lim_(z->1/2)[pi^2/4(z-1/2)+o(z-1/2)]=0$
$lim_(z->-1/2)(1+senpiz)/(2z+1)=lim_(z->-1/2)(1-1+pi^2/2(z+1/2)^2+o(z+1/2)^2)/(2(z+1/2))=lim_(z->-1/2)[pi^2/4(z+1/2)+o(z+1/2)]=0$
$[z=+-1/2]$ sono singolarità eliminabili. Quindi, il valore di quell'integrale è nullo. Guardando il tuo svolgimento mi è venuto un dubbio: al denominatore avevi $[e^(jpiz)]$ oppure $[e^(jpiz)+j]$? Perchè altrimenti bisognerebbe studiare anche questo termine, come stavi giustamente facendo:
$[e^(jpiz)+j=0] rarr [piz=-pi/2+2kpi] rarr [z=-1/2+2k]$
Siccome all'interno del dominio si annulla per $[z=-1/2]$ e $[z=3/2]$, ovviamente l'esercizio cambia. In ogni modo, mi sembra che tu proceda in modo piuttosto macchinoso, eseguendo calcoli sovrabbondanti.
Ciao, grazie della risposta.
Non riesco a capire come mai il punto $-1/2$ è appartenente al dominio. Non soddisfa la disequazione che ho scritto sopra...è sbagliata quella?
Inoltre a dir la verità non mi ero proprio accorto che fosserso singolarità eliminatibili. E' un problema? Non dovrebbe, poichè calcolando il residuo in tali punti ottengo 0 e quindi non influenza il valore dell'integrale. (credo).
Il denominatore è (chiedo scusa) $e^(jpiz)+j$
Ma non sono riuscito a capire come, tra le tante soluzioni (visto che in Z $e^z$ è periodica) come hai trovato quelle appartenenti al dominio. Il mio ragionamento è completamente sbagliato?
Qualcuno ha voglia di aiutarmi anche sugli altri?
Grazie!
Non riesco a capire come mai il punto $-1/2$ è appartenente al dominio. Non soddisfa la disequazione che ho scritto sopra...è sbagliata quella?
Inoltre a dir la verità non mi ero proprio accorto che fosserso singolarità eliminatibili. E' un problema? Non dovrebbe, poichè calcolando il residuo in tali punti ottengo 0 e quindi non influenza il valore dell'integrale. (credo).
Il denominatore è (chiedo scusa) $e^(jpiz)+j$
Ma non sono riuscito a capire come, tra le tante soluzioni (visto che in Z $e^z$ è periodica) come hai trovato quelle appartenenti al dominio. Il mio ragionamento è completamente sbagliato?
Qualcuno ha voglia di aiutarmi anche sugli altri?
Grazie!
"Vincent":
Non riesco a capire come mai il punto $-1/2$ è appartenente al dominio. Non soddisfa la disequazione che ho scritto sopra...è sbagliata quella?
Sicuramente soddisfa $|z-1|<2$.
"Vincent":
Inoltre a dir la verità non mi ero proprio accorto che fosserso singolarità eliminatibili. E' un problema? Non dovrebbe, poichè calcolando il residuo in tali punti ottengo 0 e quindi non influenza il valore dell'integrale. (credo).
Sicuramente non influenza il valore dell'integrale. Tuttavia, tutti gli zeri del denominatore andrebbero classificati comunque.
"Vincent":
Ma non sono riuscito a capire come, tra le tante soluzioni (visto che in Z $e^z$ è periodica) come hai trovato quelle appartenenti al dominio. Il mio ragionamento è completamente sbagliato?
Basta vederlo geometricamente. Devono cadere all'interno del cerchio di centro $C(1,0)$ e raggio $R=2$. In ogni modo, due giorni or sono ne stavano discutendo anche qui: integrale-col-teorema-dei-residui-studio-singolarita-t86870.html
Credo di aver trovato l'inghippo del primo esercizio.
Fondamentalmente l'errore è stato nel determinare il dominio.
In realtà il calcolo giusto è questo
$|x-1+jy|<2$
$sqrt((x-1)^2+(y)^2)<2$
$x^2-2x+1 + y^2 < 4$ e non $sqrt(2)$ come avevo scritto all'inizio
E quindi ottengo una circonferenza un pò più decente
$x^2+y^2-2x-3 = 0$
Detto questo torno al problema di
$e^(jpiz) -j = 0$
che era verificato per $x=3/2 +2k$
e quindi posso risolvere l'equazione di secondo grado senza troppi intoppi
$(3/2+2k)^2-2(3/2+2k)-3<0$
$9/4+4k^2+6k-3-6k-3<0$
$9/4+4k^3-6=0$
$4k^2 = -9/4 + 6$
$k^2<15/16$
Risultato comunque non molto incoraggiante, visto che poi qui non so cosa farmi di questo risultato!
Fondamentalmente l'errore è stato nel determinare il dominio.
In realtà il calcolo giusto è questo
$|x-1+jy|<2$
$sqrt((x-1)^2+(y)^2)<2$
$x^2-2x+1 + y^2 < 4$ e non $sqrt(2)$ come avevo scritto all'inizio
E quindi ottengo una circonferenza un pò più decente
$x^2+y^2-2x-3 = 0$
Detto questo torno al problema di
$e^(jpiz) -j = 0$
che era verificato per $x=3/2 +2k$
e quindi posso risolvere l'equazione di secondo grado senza troppi intoppi
$(3/2+2k)^2-2(3/2+2k)-3<0$
$9/4+4k^2+6k-3-6k-3<0$
$9/4+4k^3-6=0$
$4k^2 = -9/4 + 6$
$k^2<15/16$
Risultato comunque non molto incoraggiante, visto che poi qui non so cosa farmi di questo risultato!
Ok ho ancora un pò ragionato sulla disequazione e mi sono accorto di averla sbagliata (di nuovo).
In effetti $e^(jpiz)=-j$ avviene quando $z = 3/2+4k$
Risolvendo la disequazione della circonferenza, ottengo $-5/8
Mi trovo comunque in difficoltà in quanto ho comunque infiniti valori che risolvono la disequazione, ed inoltre $k$ dovrebbe essere intero, non un frazionario.
L'unico numero intero che trovo in questo intervallo è 0..quindi l'unico $k$ accettabile è 0?
In effetti $e^(jpiz)=-j$ avviene quando $z = 3/2+4k$
Risolvendo la disequazione della circonferenza, ottengo $-5/8
Mi trovo comunque in difficoltà in quanto ho comunque infiniti valori che risolvono la disequazione, ed inoltre $k$ dovrebbe essere intero, non un frazionario.
L'unico numero intero che trovo in questo intervallo è 0..quindi l'unico $k$ accettabile è 0?
Up!
Forse è meglio spezzare le richeiste in più topic?
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