Aiuto per capire passaggi con differenziale e potenziale

[steventis]

Ciao a tutti
Spero di scrivere nella sezione giusta: sto studiando su degli appunti che non sono stati presi da me e sto trovando difficoltà a capire alcuni passaggi matematici. La materia non è analisi, ma le mie difficoltà sono di carattere matematico, dunque ho scritto in questa sezione.

Abbiamo la seguente relazione:
$ \rho R = grad p $
Dove $R$ è una forza (cioè un vettore) di componenti $ R=X \hati + Y\hatj + Z\hatk $
(e su questo non ci sono domande, prendiamoli come dati di fatto).

Poi sugli appunti c'è un "richiamo dall'analisi" che dice che in generale vale questa relazione:
$ grad \phi * \vec m = (d\phi) / (dm) $
(Su questo già chiederei qualche aiuto... Esiste davvero questa proprietà? E' un prodotto scalare o vettoriale? $ \vec m$ è un versore?)

Poi allora utilizzando quella proprietà ottiene:
$\rho X = (dp) / (dx) $
$\rho Y = (dp) / (dy) $
$\rho Z = (dp) / (dz) $

(sapreste dirmi come ha fatto?)

Poi moltiplica ambo i membri rispettivamente per $dx, dy, dz$ e ottiene
$\rho X dx= (dp) / (dx) dx$
$\rho Y dy= (dp) / (dy) dy$
$\rho Z dz= (dp) / (dz) dz$

E somma membro a membro
$\rho X dx + \rho Y dy + \rho Z dz= (dp) / (dx) dx + (dp) / (dy) dy + (dp) / (dz) dz$

(Da qui in poi sono perso, potete per piacere commentarmi i passaggi matematici?)

E dice che il secondo membro è un differenziale esatto, che indica con $dp$.
$\rho X dx + \rho Y dy + \rho Z dz= dp$
Siccome $\rho$ è costante, dice che $(X dx + Y dy + Z dz)$ è un differenziale esatto.
E allora esiste un potenziale $\nu$
e scrive
$X=(d\nu)/(dx)$
$Y=(d\nu)/(dy)$
$Z=(d\nu)/(dz)$
$X dx + Y dy + Z dz= d\nu $

Insomma, mi mancano totalmente i concetti della relazione tra differenziale esatto e potenziale. Vi sarei infinitamente grato se poteste richiamarmi i concetti fondamentali in merito a questi passaggi, grazie mille!

[mazzarri1]

ciao Steventis

il primo dubbio: trattasi di derivata direzionale
$grad phi vec m $ è il prodotto interno tra il gradiente di una funzione di più variabili $phi$ (calcolato in un punto) e il vettore che indica la direzione $vec m$
non è altro che la definizione di derivata direzionale, analisi 2

Quello che segue non è difficile da comprendere
Se hai il vettore
$vec R = x vec i + i vec j + z vec k$
e hai il gradiente della funzione $p$ che come saprai è dato da
$grad p = (del p)/(delx) vec i +(del p)/(dely) vec j +(del p)/(delz) vec k$
e se hai una costante $rho$ ...
se la legge che li lega è

$rho vec R = grad p$

allora per forza moltiplicando hai

$rho x vec i + rho y vec j + rho z vec k=(del p)/(delx) vec i +(del p)/(dely) vec j +(del p)/(delz) vec k$

quindi

$rho x = (del p)/(delx)$
$rho y = (del p)/(dely)$
$rho z = (del p)/(delz)$

tutto chiaro? Poi per proseguire sai che cosa è un differenziale esatto?

Anzitutto non usi le derivate parziali...

Tra i miei ricordi ti posso dire che

Una forma differenziale $A(x,y,z) dx + B(x,y,z) dy + C(x,y,z) dz$

è detta differenziale esatto se esiste una funzione $p(x,y,z)$ tale che

$dp = (del p)/(del x) dx + (del p)/(del y) dy + (del p)/(del z) dz$

ora questo è un argomento delicato e non voglio spiegartelo io che me lo ricordo poco e male, potrei dire cavolate, aspetto che un altro forumista più esperto di me ti aiuti da qui in avanti

ciao!

[steventis]

Ti ringrazio molto mazzarri per la risposta.
Inizia a essermi più chiaro...

Quindi, arrivo a questa espressione:
$ \rho (Xdx + Ydy + Zdz) = (\partialp)/(\partialx) dx + (\partialp)/(\partialy) dy + (\partialp)/(\partialz) dz $
Nella quale, a secondo membro, riconosco un differenziale esatto, che chiamo $dp$. Quindi deduco che questa relazione è governata da un potenziale, giusto? Ma se il differenziale esatto è $dp$, allora il potenziale è $p$?

Poi però vedo che $ \rho $ è una costante.. Allora $ Xdx + Ydy + Zdz $ è ancora un differenziale esatto, che viene indicato con $d\nu$, e il potenziale inicato con $\nu$. Quindi il potenziale $p$ e il potenziale $\nu$ sono due cose diverse?

Grazie ancora...