AIUTO NUMERI COMPLESSI

[Sk_Anonymous]

Ciao a tutti,
devo risolvere degli esercizi con i numeri complessi , ma mi manca un passaggio...
ecco l'esercizio tipo...

1-i*sqrt(3)

Allora , applico le formulette che conosco sui numeri complessi...

quindi insomma alla fine mi risulta

2 ( cos 1/2 - sin sqrt(3) / 2)

il mio problema e' questo.....
che non so andare avanti....

il risultato e' questo

2(cos 5/3 PI + i sen 5/3 PI ) ---> PERCHE' ???da dove vengono ricavati gli angoli? con che formule???

Inoltre vorrei chiedere a qualche anima pia se mi puo' spiegare , o se esiste ( ma sicuramente ) ci sara' una proporzione , una cavolo di formula, per arrivare a trovare in modo facile il seno e il coseno di un angolo....
per esempio se voglio sapere quant'e' il coseno di 45° come faccio con una formula a dire subito che e' sqrt(2)/2????
grazie mille
e scusate l'ignoranza in materia...

[crsclaudio]

il numero complesso è:

v = 1-i*radq(3)

il cui modulo è pari a |v|=radq(1+3)=2
Raccogliendo il modulo si ottiene:

v = 2*[1/2 - i*radq(3)/2]

considerando la porzione tra parentesi (numero complesso), questa può essere rappresentata nel piano complesso e il punto in questione ha coordinate 1/2 e (-radq(3)/2).

Per trovare l'angolo è necessario trovare il valore tale per cui sono soddisfatte le due condizioni:

FI = arccos(1/2) = -PI/3 = 5*PI/3
FI = arcsin(-radq(3)/2) = -PI/3 = 5*PI/3

PS: il secondo angolo si può trovare dal primo sommando 2*PI che è ininfluente ai fini della valutazione delle funzioni trigonometriche.

una volta trovato FI basta scrivere:

v = |v|*(cosFI+i*sinFI)

= 2*[cos(5*PI/3)+1*sin(5*PI/3)]

Per valutare il sen o il cos di un angolo serve la trigonometria. Di solito si devono conoscere i valori delle funzioni trigonometriche in corrispondenza degli angoli notevoli per i casi meno usuali sono necessari i calcolatori.

Ciao

[Sk_Anonymous]

ok grazie mille,
ma dato che io conosco le coordinate del punto , quindi so la lunghezza dei cateti e quindi con pitagora conosco anche l'ipotenusa del triangolo , non riesco sempre con pitagora a trovare l'ampiezza dell'angolo ????

[crsclaudio]

Si se conosci il triangolo rettangolo puoi sapere anche l'angolo, però devi riferirlo al sistema convenzionale della trigonometria secondo la quale l'ampiezza di un angolo si misura in senso antiorario a partire dal semi-asse positivo delle ascisse fino alla posizione considerata.

Nel caso dell'esercizio che hai proposto il punto era nel IV quadrante e quindi l'angolo relativo, per definire il numero complesso, è compreso tra (3*PI/2) e (2*PI).

PS: con Pitagora non credo tu riesca a trovare l'ampiezza di un angolo, ci sono delle formule dedicate per calcolare le ampiezze degli angoli in un triangolo rettangolo e devi cercarle nelle applicazioni alla geometria della trigonometria.

Detto Alfa uno dei due angoli non retti del triangolo e con A il cateto opposto rispetto a tale angolo, B il cateto adiacente e IP l'ipotenusa allora vale che:

Alfa = ArcSin(A/IP) oppure
Alfa = ArcCos(B/IP) oppure
Alfa = ArcTan(A/B)

Ciao e buon lavoro

[Sk_Anonymous]

Ok concordo pienamente...
ma ho un ragionamento in testa e sto impazzendo a non riuscire ad arrivare a una conclusione....
hai scritto ....


v = 2*[1/2 - i*radq(3)/2]

considerando la porzione tra parentesi (numero complesso), questa può essere rappresentata nel piano complesso e il punto in questione ha coordinate 1/2 e (-radq(3)/2).

***********
ok , fin qui ci sono...ho un punto nel piano cartesiano che e' rappresentato da una parte reale e una complessa
***********

Per trovare l'angolo è necessario trovare il valore tale per cui sono soddisfatte le due condizioni:

FI = arccos(1/2) = -PI/3 = 5*PI/3
*********************************
gia' qui non capisco......
come hai fatto a trovare PI /3????

Supponi che io non ho a disposizione la calcolatrice...
esiste una formula???

grazie mille

[crsclaudio]

Sono riuscito a calcolare l'angolo il cui seno o coseno è pari ad un valore noto perchè quel valore apparteneva all'insieme degli angoli notevoli:

es:
sin(0)=0
sin(30)=1/2
sin(45)=radq(2)/2
sin(60)=radq(3)/2
sin(90)=1

inoltre
cos(0)=1
cos(30)=radq(3)/2
cos(45)=radq(2)/2
cos(60)=1/2
cos(90)=0

quindi se si rientra in uno di questi casi è possibile ricostrutire l'angolo. Nel tuo caso non sei nel primo quadrante e quindi devi usare gli angoli ASSOCIATI della trigonometria.

Se esci da questi valori di angolo notevole in alcuni casi è possibile calcolarne il valore con le formule di ADDIZIONE, SOTTRAZIONE, PROSTAFERESI o WERNER, ma non è conveniente. In casi meno usuali è necessaria la calcolatrice.

Nel tuo caso devi trovare l'angolo che soddisfa entrambe le equazioni che ti ho scritto nel mio primo messaggio, altrimenti la soluzione non è unica all'interno di un angolo giro.

Prova e rivedere un libro del liceo che parla di trigonometria, penso che riuscirai certamente a trovare la soluzione al problema.

Intanto ti auguro una buona giornata, Claudio

[fireball1]

Ciao Dolcestella.
Per calcolare le funzioni goniometriche di un angolo puoi fare uso delle formule
che ha citato Claudio, ma esistono anche le formule parametriche e soprattutto
le formule di bisezione. Nel primo post di questo topic, chiedevi:

"per esempio se voglio sapere quant'e' il coseno di 45° come faccio con una formula a dire subito che e' sqrt(2)/2????"


Bene, l'angolo di 45° può essere considerato come metà di 90°.
Dalle formule di bisezione si ha: cos45°=cos(90°/2)=sqrt((1-cos90°)/2)=sqrt(1/2)=
sqrt(2)/2

Sono sicuro che questo potrà esserti utile. Ci ho lavorato io stesso, insieme a Camillo.