Aiuto numeri complessi
salve ragazzi sono nuovo nel forum...sto studiando analisi matematica 1 e adesso sto affrontando i numeri complessi.
teoricamente ci siamo, ma nel momento in cui devo andare a svolgere gli esercizi mi perdo XD...
l'esercizio da svolgere adesso è il seguente:
((1+iz)/(1-iz))^8=1 come si risolve? spero che qualcuno possa aiutarmi grazie
teoricamente ci siamo, ma nel momento in cui devo andare a svolgere gli esercizi mi perdo XD...
l'esercizio da svolgere adesso è il seguente:
((1+iz)/(1-iz))^8=1 come si risolve? spero che qualcuno possa aiutarmi grazie
Risposte
Per adesso aggiusto l'esercizio
$((1+iz)/(1-iz))^8=1$
$((1+iz)/(1-iz))^8=1$
a ok grazie
Non sono per niente espertissima perchè non faccio matematica ,
però credo che occorre portare tutto nella forma $a+ ib$ ...
però credo che occorre portare tutto nella forma $a+ ib$ ...
Prima di tutto devi risolvere $\alpha^8=1,\ \alpha\in CC$.
Cioè devi trovare $\alpha$
Stai cercando una soluzione o più soluzioni ? Quante ? Quanti $\alpha$ ci sono tali che $\alpha^8=1$ ?
Cioè devi trovare $\alpha$
Stai cercando una soluzione o più soluzioni ? Quante ? Quanti $\alpha$ ci sono tali che $\alpha^8=1$ ?
puoi spiegarti meglio? XD
io stavo procedendo in questo modo (correggetemi se sbaglio):
vado a impostare w=1+iz, 1-iz è il complesso coniugato di w quindi faccio (w/wnegato)^8=1
vado a trasformare w in forma trigonometrica ed elevo entrambi per 8...
ottengo una divisione tra due numeri complessi e seguendo la regola si risolvono andando a fare il rapporto tra i moduli e sommando i loro angoli...
in questo modo ottengo cos(16teta)+i sen(16teta)=1
non so se quello k ho fatto è corretto o meno, e comunque qui mi sn bloccato
io stavo procedendo in questo modo (correggetemi se sbaglio):
vado a impostare w=1+iz, 1-iz è il complesso coniugato di w quindi faccio (w/wnegato)^8=1
vado a trasformare w in forma trigonometrica ed elevo entrambi per 8...
ottengo una divisione tra due numeri complessi e seguendo la regola si risolvono andando a fare il rapporto tra i moduli e sommando i loro angoli...
in questo modo ottengo cos(16teta)+i sen(16teta)=1
non so se quello k ho fatto è corretto o meno, e comunque qui mi sn bloccato
Verebbe
$((1+iz)/(1-iz) *(1-iz)/(1+iz) )^8=1$
quindi $(1/1)^8=1$
$1^8=1$
$1=1$
la divisione può essere effettuata scrivendo la frazione corrispondente, e
moltiplicandone i termini per un medesimo numero (proprietà invariantiva delle frazioni), scelto in modo tale
da far sì che, dopo l'operazione, il denominatore “perda” l’unità immaginaria e diventi quindi un numero reale
ma come detto aspetta opinioni da persone più competenti .
$((1+iz)/(1-iz) *(1-iz)/(1+iz) )^8=1$
quindi $(1/1)^8=1$
$1^8=1$
$1=1$
la divisione può essere effettuata scrivendo la frazione corrispondente, e
moltiplicandone i termini per un medesimo numero (proprietà invariantiva delle frazioni), scelto in modo tale
da far sì che, dopo l'operazione, il denominatore “perda” l’unità immaginaria e diventi quindi un numero reale
ma come detto aspetta opinioni da persone più competenti .
"Stellinelm":
Non sono per niente espertissima perchè non faccio matematica ,
però credo che occorre portare tutto nella forma $a+ ib$ ...
sbagliato! sostituire $z=x+iy$ oppure $z=a+ib$ è sbagliato perchè ti riduci a far calcoli complicati rischiando di sbagliare
da qui $((1+iz)/(1-iz))^8=1$
si opera per sostituzione $\omega=(1+iz)/(1-iz)$ così hai $\omega^8=1$
ti trovi le 8 radici di 1 e poi le vai a sostituire qui $\omega=(1+iz)/(1-iz)$ mettendo in evidenza $z$
non credo che però tu le debba calcolare tutte, lascia indicato il parametro
grz 21zuclo
continuo a nn capire 
"zigher":
continuo a nn capire
da qui $((1+iz)/(1-iz))^8=1$ operi per sostituzione $\omega=(1+iz)/(1-iz)\to \omega^8=1$
fino a qui ci sei?
sisi
ok perfetto!
Ora ti calcoli le 8 radici di 1 con la solita formula. Non credo che le devi calcolare espressamente tutte, lascia il parametro
poi queste 8 radici le vai a sostituire nella tua sostituzione iniziale $\omega=(1+iz)/(1-iz)$
$\omega=(1+iz)/(1-iz)\to \omega\ne -1\to 1-iz=\omega_k(1+iz)\to 1-iz=\omega_k+i \omega_k z\to iz(-1-\omega_k)=\omega_k-1\to$
$\to z=(i(\omega_k-1))/(\omega_k+1)$
ecco fatto le tue soluzioni in $z$. Ora queste sono generali, tu invece hai 8 radici!..
Ora ti calcoli le 8 radici di 1 con la solita formula. Non credo che le devi calcolare espressamente tutte, lascia il parametro
poi queste 8 radici le vai a sostituire nella tua sostituzione iniziale $\omega=(1+iz)/(1-iz)$
$\omega=(1+iz)/(1-iz)\to \omega\ne -1\to 1-iz=\omega_k(1+iz)\to 1-iz=\omega_k+i \omega_k z\to iz(-1-\omega_k)=\omega_k-1\to$
$\to z=(i(\omega_k-1))/(\omega_k+1)$
ecco fatto le tue soluzioni in $z$. Ora queste sono generali, tu invece hai 8 radici!..
a ok perfetto...ma la soluzione k io avevo detto prima è sbagliata? xkè cmq vedendo altri esercizi svolti della mia prof lei procede come stavo facendo io in forma trigonometrica...
Ascolta, ti è stato spiegato a lezione come trovare le radici complesse di $z^8=1$ ?
Se lo sai, scrivi queste radici e poi si va avanti.
Se lo sai, scrivi queste radici e poi si va avanti.
no...cm ti ho detto io so trasformare z in forma trigonometrica cio z=ρ(cos Θ + i sen Θ) dopo andando ad elevarlo per 8 si fa z=ρ^8(cos 8Θ + i sen 8Θ) questo è quello k mi hanno insegnato...
quindi ρ^8(cos 8Θ + i sen 8Θ)=1 poi come si procede?!
quindi ρ^8(cos 8Θ + i sen 8Θ)=1 poi come si procede?!
Io farei così:
1) Tolgo il denominatore, essendo imbranato, preferisco avere meno cose fastidiose
:
$(1+iz)/(1-iz)= (1+i(a+ib))/(1-i(a+ib))= (1-b + i a)/(1+b -ia)= ((1-b+ia)(1+b+ia))/((1+b)^2 +a^2)=(1-b^2 -a^2 +2ia)/((1+b)^2 +a^2)$
2) Calcolo le radici ottave di $1$:
$e^(2kpi/8), k in {0,...,7}$
3) Eguaglio il termine trovato in 1) ad ognuna delle radici trovate in 2), lascio a te i conti
1) Tolgo il denominatore, essendo imbranato, preferisco avere meno cose fastidiose
:$(1+iz)/(1-iz)= (1+i(a+ib))/(1-i(a+ib))= (1-b + i a)/(1+b -ia)= ((1-b+ia)(1+b+ia))/((1+b)^2 +a^2)=(1-b^2 -a^2 +2ia)/((1+b)^2 +a^2)$
2) Calcolo le radici ottave di $1$:
$e^(2kpi/8), k in {0,...,7}$
3) Eguaglio il termine trovato in 1) ad ognuna delle radici trovate in 2), lascio a te i conti
"zigher":
no...cm ti ho detto io so trasformare z in forma trigonometrica cio z=ρ(cos Θ + i sen Θ) dopo andando ad elevarlo per 8 si fa z=ρ^8(cos 8Θ + i sen 8Θ) questo è quello k mi hanno insegnato...
quindi ρ^8(cos 8Θ + i sen 8Θ)=1 poi come si procede?!
E allora devi prima imparare a trovare le radici complesse n-esime dell'unità.
In giro troverai centinaia di esercizi e pagine di teoria, a partire dal tuo libro.
Poi ci risentiamo, ....(per quanto mi riguarda).
"zigher":
no...cm ti ho detto io so trasformare z in forma trigonometrica cio z=ρ(cos Θ + i sen Θ) dopo andando ad elevarlo per 8 si fa z=ρ^8(cos 8Θ + i sen 8Θ) questo è quello k mi hanno insegnato...
quindi ρ^8(cos 8Θ + i sen 8Θ)=1 poi come si procede?!
quello che stai facendo tu è la Formula di De Moivre che dice
Sia $z$ un numero complesso non nullo avente la forma trigonometrica $z=\rho(\cos\theta+i \sin\theta)$
Per ogni intero relativo $n$ si ha $z^n=\rho^n(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta))$
per le radici di un numero complesso si ha un'altra formula. Sicuramente sui tuoi appunti e/o sul tuo libro vi è la formula
@Zigher
prova vedere qui, al paragrafo 5.3 parla proprio delle radici dell'unità e fa l'esempio con le radici ottave di 1.
prova vedere qui, al paragrafo 5.3 parla proprio delle radici dell'unità e fa l'esempio con le radici ottave di 1.
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